Giải bài 32 Quan hệ đường vuông góc và đường xiên

Hoạt động: Cho điểm A không nằm trên đường thăng d

a) Hãy vẽ đường vuông góc AH và một đường xiên AM từ A đến d

b) Em hãy giải thích vì sao AH < AM

Hướng dẫn giải:

a)

b) Tam giác AHM là một tam giác vuông với góc vuông$\widehat{AHM}$ = 90°. Cho nên $\widehat{AHM}$ sẽ là góc lớn nhất. Theo định lý về góc và cạnh đối diện trong tam giác, AM là cạnh lớn nhất của tam giác AHM và AM > AH.

Luyện tập: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2cm. M là một điểm trên cạnh BC như hình 9.10

a) Hãy chỉ ra các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.

b) So sánh hai đoạn thẳng AB và AM.

c) Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải:

a) Đường vuông góc : AB

   Đường xiên :AM

b) Theo định lí đường vuông góc và đường xiên, ta thấy AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC nên AB sẽ ngắn nhất. Suy ra AB < AM

c) Ta có CB ⊥ AB. Suy ra CB là khoảng cách từ điểm C đến AB

ABCD là hình vuông nên CB=AD= 2cm

Vậy khoảng cách từ C đến AB là 2 cm

Thử thách nhỏ: 

a) Quan sát hình 9.11, ta thấy khi M thay đổi trên d, M càng xa H thì độ dài AM càng lớn, tức là nếu HM<HN thì AM< AN. Hãy chứng minh khẳng định nhờ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác AMN.

b) Xét hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý nằm trên các cạnh của hình vuông. Hỏi với vị trí nào của M thì AM lớn nhất ? Vì sao ?

Hướng dẫn giải:

a) Khi HM < HN thì đường xiên AM sẽ tạo với HN một góc tù là $\widehat{AMN}$ và ta có tam giác tù AMN. Khi đó AN là cạnh lớn nhất của tam giác AMN. Suy ra AN > AM.

b)

Khi điểm M trùng với điểm D thì AM lớn nhất, vì:

AD là đường chéo của cả 2 tam giác vuông ACD và ABD, góc đối diện là góc vuông $\widehat{ACD}$ và $\widehat{ABD}$

Theo định lý quan hệ giữa góc và cạnh đối diện, AD sẽ lớn nhất. Suy ra, khi mà M≡D thì AM=AD và AM sẽ lớn nhất.