Bài tập 9.36 trang 84 toán 7 tập 2 KNTT
Cho tam giác ABC $\widehat{BAC}$ là góc tù. Lấy điểm D nằm giữa A và B, lấy điểm E nằm giữa A và C (H.9.51). Chứng minh DE < BC.
Hướng dẫn giải:
Vì $\widehat{BAC}$ là góc tù nên $\widehat{ADE}$ ,$\widehat{AED}$ là các góc nhọn
=> $\widehat{DEC}$là góc tù.
=>DC>DE (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác DEC). (1)
Xét tam giác ADC có:
$\widehat{DAC}$ là góc tù nên $\widehat{ADC}$ ,$\widehat{ACD}$ là các góc nhọn
=> $\widehat{BDC}$ là góc tù.
=>BC>DC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác BDC) (2)
- Từ (1) và (2) suy ra: BC>DE
Bài tập 9.37 trang 84 toán 7 tập 2 KNTT
Cho tam giác ABC ( AB> AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa B D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE= CA ( H.9.52)
a) So sánh $\widehat{ADE}$ và $\widehat{AED}$
b) So sánh các đoạn thẳng AD và AE
Hướng dẫn giải:
a)AB > AC => $\widehat{ABC}$ < $\widehat{ACB}$ ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ABC)
$\widehat{ABD}$ + $\widehat{ABC}$ = 180° => $\widehat{ABC}$ = 180°- $\widehat{ABD}$
$\widehat{ACE}$ + $\widehat{ACB}$ = 180° => $\widehat{ACB}$ = 180°- $\widehat{ACE}$
=> 180°- $\widehat{ABD}$ < 180°- $\widehat{ACE}$
=> $\widehat{ACE}$ < $\widehat{ABD}$
Tam giác ABD cân tại B ( BD= BA) => $\widehat{ABD}$= 180°- 2$\widehat{ADB}$
Tam giác ACE cân tại C ( CE= CA) => $\widehat{ACE}$= 180°- 2$\widehat{AEC}$
=> 180°- 2$\widehat{ADB}$ > 180°- 2$\widehat{AEC}$
=> $\widehat{ADB}$ < $\widehat{AEC}$
b) Xét tam giác ADE ta có : $\widehat{ADB}$ < $\widehat{AEC}$
=> AD > AE
Bài tập 9.38 trang 84 toán 7 tập 2 KNTT
Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng
a) AI < $\frac{1}{2}$ (AB + AC)
b) AM < $\frac{1}{2}$ (AB + AC)
Hướng dẫn giải:
a) AI là đường cao từ A xuống đoạn thẳng BC=> AI là khoảng cách từ A đến BC => AI ngắn nhất
=> AI < AB và AI < AC
Cộng 2 vế với nhau ta có : 2 AI < AB + AC
=> AI <$\frac{1}{2}$ (AB + AC)
b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD
Xét ∆ ABM và ∆ DCM có
AM = DM ( M là trung điểm củaAD)
BM=CM ( M là trung điểm của BC)
$\widehat{AMB}$ = $\widehat{CMD}$ ( 2 góc đối đỉnh)
=> ∆ ABM = ∆ DCM
=>AB = CD
Xét ∆ ADC ta có: AD < AC + CD
=> 2AM < AC + AB
=> AM < $\frac{1}{2}$ (AB + AC)
Bài tập 9.39 trang 84 toán 7 tập 2 KNTT
Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD= 2 DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A
Gợi ý D là trọng tâm của tam gíac ABE, tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là trung tuyến.
Hướng dẫn giải:
C là trung điểm của AE => BC là trung tuyến của tam giác ABE (1)
D thuộc BC, BD= 2DC
=> BC= BD + DC = 2DC + DC = 3DC => DC = $\frac{1}{3}$ BC (2)
Từ (1) và (2)=> D là trọng tâm của tam giác ABE
=> AD là đường trung tuyến ứng với BE
mà AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ hay $\widehat{BAE}$ thuộc tam giác ABE
=> Tam giác ABE cân tại A