Giải bài 34 Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG MỘT TAM GIÁC

Hoạt động 2: Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều 10 ô, hãy đếm dòng,đánh dấu các đỉnh A,B,C rồi vẽ tam giác ABC(H.9,29).Vẽ hai đường trung tuyến BN, CP, chúng cắt nhau tại G, tia AG cắt cạnh BC tại M.

• AM có phải đường trung tuyến của tam giác ABC không ?
• Hãy xác định các tỉ số $\frac{GA}{MA}$, $\frac{GB}{NB}$ , $\frac{GC}{PC}$

Hướng dẫn giải: 

• AM chính là đường trung tuyến của tam giác ABC
•  $\frac{GA}{MA}$ =  $\frac{6}{9}$ =  $\frac{2}{3}$

      $\frac{GB}{NB}$ =  $\frac{4}{6}$=  $\frac{2}{3}$

      $\frac{GC}{PC}$ =  $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Luyện tập 1: Trong tam giác ABC ở ví dụ 1, cho trung tuyến BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB.

Hướng dẫn giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GB = $\frac{2}{3}$ BN => GN = $\frac{1}{3}$ BN

Ta có GN = 1 cm => BN = 3 GN = 3.1 = 3 cm

=> GB = $\frac{2}{3}$ BN = $\frac{2}{3}$ . 3= 2 cm

Vậy BN= 3 cm và GB = 2 cm

2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

Luyện tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại điểm I. Hỏi CI có là đường phân giác của góc C không ?

Hướng dẫn giải:

Gọi IP là khoảng cách từ I đến BC, IQ là khoảng cách từ I đến AC

Có AM và BN là hai đường phân giao nhau tại I => I cách đều AC vad Bc => IP = IQ

Xét ∆ IPC và ∆ IQC ta có:

    Chung cạnh IC

     IP = IQ

=> ∆ IPC = ∆ IQC 

=> $\widehat{ICP}$ = $\widehat{ICQ}$

=> CI là đường phân giác của $\widehat{C}$

Vận dụng 2: Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi tam giác đều là  ∆ ABC. O là điểm cách đều ba cạnh. OM,ON, OP lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, AC, BC

Ta có OM=ON=OP => O là điểm đồng quy của 3 đường phân giác của ∆ ABC

3 đường phân giác là AP, BN và CM

∆ ABC là một tam giác đều nên AP, BN và CM sẽ đồng thời là 3 đường trung tuyến của ∆ ABC

=> O là trọng tậm của tam giác ∆ ABC.