Bài 9.21 trang 76 toán 7 tập 2 KNTT
Chứng minh rằng
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau
b) Ngược lại nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân
Bài Làm:
a) Ta có ∆ ABC cân tại A. BD và CE là trung tuyến với E là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC
∆ ABC cân tại A => AB = AC
Có : AE = $\frac{1}{2}$ AB. AD= $\frac{1}{2}$ AC
=> AE= AD
Xét ∆ ABD và ∆ ACE ta có:
$\widehat{A}$ chung
AE=AD
AB= AC
=> ∆ ABD = ∆ ACE => BD= CE
b)
Gọi O là giao điểm của CE và BD
Ta có CE và BD là 2 đường trung tuyến nên O sẽ là trọng tâm của tam giác ∆ ABC
=> BO = $\frac{2}{3}$ BD. OD= $\frac{1}{3}$ BD
CO= $\frac{2}{3}$ CE. OE = $\frac{1}{3}$ CE
CE= BD
=> BO= CO. OD= OE
Xét ∆ EOB và ∆ DOC ta có:
BO= OC
OD= OE
$\widehat{EOB}$ = $\widehat{DOC}$ ( 2 góc đối đỉnh)
=> ∆ EOB = ∆ DOC
=> EB= DC
Có EB= $\frac{1}{2}$ AB
DC= $\frac{1}{2}$ AC
=> AB= AC
=> ∆ ABC cân tại A