Câu 6: Trang 49 sách VNEN 9 tập 1
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(a; 0); B(0; b) (với a > 0, b > 0) và C(1; 2) như trên hình 12.
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng.
c) Tìm các giá trị của a, b sai cho bao điểm A, B, C thẳng hàng và diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
Bài Làm:
a) Gọi phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là (d): y = mx + n
Vì (d) đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) nên ta được n = b, m = $\frac{-b}{a}$
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là (d): y = $\frac{-b}{a}$x + b
b) Phương trình đường thẳng đi qua AB là (d): y = $\frac{-b}{a}$x + b
Để A, B, C thẳng hàng thì điểm C $\in $ (d)
Ta có: 2 = $\frac{-b}{a}$.1 + b $\Leftrightarrow $ b = $\frac{2a}{a - 1}$
c) Theo câu b, để A,B,C thẳng hàng thì b = $\frac{2a}{a - 1}$
Ta có: S$\Delta $OAB = $\frac{1}{2}$.OA.OB = $\frac{1}{2}$ab = $\frac{1}{2}$.a.$\frac{2a}{a - 1}$ = $\frac{a^{2}}{a - 1}$
Để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất thì $\frac{a^{2}}{a - 1}$ phải nhỏ nhất
Xét biểu thức P = $\frac{a^{2}}{a - 1}$ = a - 1 + $\frac{1}{a - 1}$ + 2 $\geq $ 2.$\sqrt{(a - 1).\frac{1}{a - 1}}$ + 2 = 4
Suy ra MinS$\Delta $OAB = 4 khi $(a - 1)^{2}$ = 1 $\Leftrightarrow $ a = 2 $\Rightarrow $ b = 4
Vậy a = 2, b = 4.