Giải toán VNEN 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Đọc sgk toán 9 trang 26

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. a) Đọc hiểu nội dung

• Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn các biểu thức chứa căn để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn (căn đồng dạng).

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{\frac{3}{4}}$ + $\sqrt{\frac{1}{3}}$ + $\sqrt{\frac{1}{12}}$ ;             

b) $\frac{10}{9}$($\sqrt{0,8}$ + $\sqrt{1,25}$) ;

c) 4$\sqrt{\frac{2}{9}}$ + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{\frac{1}{18}}$ ;                         

d) $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$ - $\frac{1}{\sqrt{5} + 1}$.

Trả lời:

a) $\sqrt{\frac{3}{4}}$ + $\sqrt{\frac{1}{3}}$ + $\sqrt{\frac{1}{12}}$ = $\sqrt{\frac{9}{12}}$ + $\sqrt{\frac{4}{12}}$ + $\sqrt{\frac{1}{12}}$ = $\frac{3}{\sqrt{12}}$ + $\frac{2}{\sqrt{12}}$ + $\frac{1}{\sqrt{12}}$  = $\frac{6}{\sqrt{12}}$ = $\frac{6\sqrt{12}}{12}$.

b) $\frac{10}{9}$($\sqrt{0,8}$ + $\sqrt{1,25}$) = $\frac{10}{9}$($\sqrt{\frac{4}{5}}$ + $\sqrt{\frac{5}{4}}$) = $\frac{10}{9}$($\sqrt{\frac{16}{20}}$ + $\sqrt{\frac{25}{20}}$) = $\frac{10}{9}$($\frac{4}{\sqrt{20}}$+ $\frac{5}{\sqrt{20}}$) = $\frac{10}{9}$.$\frac{9}{\sqrt{20}}$ = $\frac{10}{\sqrt{20}}$ = $\sqrt{5}$

c) 4$\sqrt{\frac{2}{9}}$ + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{\frac{1}{18}}$ =  4$\sqrt{\frac{4}{18}}$ + $\sqrt{\frac{36}{18}}$ + $\sqrt{\frac{1}{18}}$ = $\frac{8}{\sqrt{18}}$ + $\frac{6}{\sqrt{18}}$ + $\frac{1}{\sqrt{18}}$ = $\frac{15}{\sqrt{18}}$ = $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.

d) $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$ - $\frac{1}{\sqrt{5} + 1}$ = $\frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}$ - $\frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}$ = $\frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}$ = $\frac{2}{5 - 1}$ = $\frac{1}{2}$.

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{a}{4}}$ - a$\sqrt{\frac{9}{a}}$ + $\sqrt{7}$ với a > 0 ;

b) 11$\sqrt{5a}$ - $\sqrt{125a}$ + $\sqrt{20a}$ - 4$\sqrt{45a}$ + 9$\sqrt{a}$ ;

c) 5a$\sqrt{25ab^{3}}$ - $\sqrt{3}$$\sqrt{12a^{3}b^{3}}$ + 9ab$\sqrt{9ab}$ - 5b$\sqrt{81a^{3}b}$ với b $\geq $ 0, a $\geq $ 0 ;

d) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{a}{b}$$\frac{b}{a}$ với a > 0, b > 0.

Trả lời:

a) 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{a}{4}}$ - a$\sqrt{\frac{9}{a}}$ + $\sqrt{7}$ = 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$\frac{\sqrt{a}}{2}$  - a$\sqrt{\frac{9a}{a^{2}}}$ + $\sqrt{7}$ = 6$\sqrt{a}$ + $\frac{\sqrt{a}}{3}$  - 3$\sqrt{a}$ + $\sqrt{7}$ = $\frac{10}{3}$$\sqrt{a}$ + $\sqrt{7}$

b) 11$\sqrt{5a}$ - $\sqrt{125a}$ + $\sqrt{20a}$ - 4$\sqrt{45a}$ + 9$\sqrt{a}$ = 11$\sqrt{5a}$ - 5$\sqrt{5a}$ + 2$\sqrt{5a}$ - 12$\sqrt{5a}$ + 9$\sqrt{a}$ = - 4$\sqrt{5a}$ + 9$\sqrt{a}$ =  (9 - 4$\sqrt{5}$)$\sqrt{a}$.

c) 5a$\sqrt{25ab^{3}}$ - $\sqrt{3}$$\sqrt{12a^{3}b^{3}}$ + 9ab$\sqrt{9ab}$ - 5b$\sqrt{81a^{3}b}$ = 25ab$\sqrt{ab}$ - 6ab$\sqrt{ab}$ + 27ab$\sqrt{ab}$ - 45ab$\sqrt{ab}$ = ab$\sqrt{ab}$.

d) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{a}{b}$$\frac{b}{a}$ = $\sqrt{\frac{ab}{b^{2}}}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{a}{b}$$\frac{ab}{a^{2}}$ = $\frac{\sqrt{ab}}{b}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{\sqrt{ab}}{b}$ = $\sqrt{ab}$.

Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\left (\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} +  \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}}  \right )$ : $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ = - 2

b)  $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}}$ = $\left | a \right |$ với a + b > 0 và b $\neq $ 0 ;

c) $\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$ : $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ = a - b với a > 0, b > 0, a $\neq $ b ;

d) $\left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}  \right )$ : $\frac{\sqrt{xy}}{x - y}$ với x > 0, y > 0, x $\neq $ y.

Trả lời:

a) Biến đổi vế trái ta có:

$\left (\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} +  \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}}  \right )$ : $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$

= $\left \lfloor \frac{\sqrt{7}(1 - \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2}} +  - \frac{\sqrt{5}(1  - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} \right \rfloor$ : $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$

= - ($\sqrt{7}$ + $\sqrt{5}$)($\sqrt{7}$ - $\sqrt{5}$) = - (7 - 5) = - 2.

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái ta có:

$\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}}$ 

= $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{(a + b)^{2}}}$ = $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\frac{\left | a \right |.b^{2}}{a + b}$ = $\left | a \right |$

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

c) Biến đổi vế trái ta có:

$\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$ : $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ 

= $\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}}$.($\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$)

= ($\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$).($\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$) = a - b

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

d) Biến đổi vế trái ta có:

$\left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}  \right )$ : $\frac{\sqrt{xy}}{x - y}$ 

= $\left \lfloor \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} - \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} \right \rfloor$ . $\frac{x - y}{\sqrt{xy}}$

= $\frac{ x + 2\sqrt{xy} + y - x + 2\sqrt{xy} - y}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$.$\frac{x - y}{\sqrt{xy}}$

= $\frac{4\sqrt{xy}}{x - y}$.$\frac{x - y}{\sqrt{xy}}$ = 4

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.