Giải toán VNEN 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

A.B. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG và HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

a) Em thực hiện hoạt động sau

- Xem hình vẽ 16, chỉ ra tất cả các tam giác đồng dạng với tam giác ABH trong hình vẽ.

- Dựa vào các tỉ số đồng dạng của các tam giác tìm được, em hoàn thành các đẳng thức sau:

$AC^{2}$ = CH x ............

$b^{2}$ = ........................ ;

$AB^{2}$ = BH x ............

$c^{2}$ = ........................

Trả lời:

- Các tam giác đồng dạng với tam giác ABH là tam giác CBA, tam giác CAH.

- $AC^{2}$ = CH x CB

$b^{2}$ = b'.(b' + c') ;

$AB^{2}$ = BH x BC

$c^{2}$ = c'.(b' + c').

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

c) Áp dụng công thức $b^{2}$ = ab', $c^{2}$ = ac' để làm bài tập sau

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6, BC = 10. Tính độ dài x, y trên hình 17. Điền vào chỗ chấm (....) để hoàn thành lời giải.

Gợi ý: Áp dụng công thức $b^{2}$ = ab', $c^{2}$ = ac' cho tam giác vuông..........., đường cao.......:

+ $AB^{2}$ = BH x ...... $\Rightarrow $ $6^{2}$ = ..... x .......

$\Rightarrow $ x =..... = ........

+ y = BC - .....= 10 - ......

Trả lời:

Áp dụng công thức $b^{2}$ = ab', $c^{2}$ = ac' cho tam giác vuông ABC đường cao AH:

+ $AB^{2}$ = BH x BC $\Rightarrow $ $6^{2}$ = x.(x + y)

$\Rightarrow $ x = $\frac{6^{2}}{10}$= 3,6

+ y = BC - 3,6 = 10 - 3,6 = 6,4.

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

a) Em điền vào chỗ chấm (....) để hoàn thành chứng minh sau

$\Delta $ABH $\sim $ $\Delta $CA (g.g) (h.18)

$\Rightarrow $ $\frac{AH}{.....}$ = $\frac{BH}{......}$ $\Rightarrow $ $AH^{2}$ = .......

Trả lời:

$\Delta $ABH $\sim $ $\Delta $CAH (g.g) (h.18)

$\Rightarrow $ $\frac{AH}{HC}$ = $\frac{BH}{AH}$ $\Rightarrow $ $AH^{2}$ = BH.CH.

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

h$^{2}$ = b'.c'

Bài tập 2: Áp dụng công thức $h^{2}$ = b'.c', tính x trong hình 19. Điền vào chỗ chấm (....) để hoàn thành lời giải

Áp dụng công thức $h^{2}$ = b'.c', ta có:

$x^{2}$ = .......................................

$\Rightarrow $ x = .....................................

Trả lời:

Áp dụng công thức $h^{2}$ = b'.c', ta có:

$x^{2}$ = 4.9

$\Rightarrow $ x = 6

c) Đọc kĩ nội dung sau

• Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tich của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

b.c = a.h

Bài tập 3: Cho tam giác vuông với hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm và 8cm (h.20). Tính độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác. Em hãy điền vào chỗ chấm(....) để hoàn thanh lời giải.

Gợi ý: Theo định lý Py-ta-go 

$BC^{2}$ = .....................= .................= ..............

- Áp dụng công thức bc = ah, ta có:

ABx............= ................xAH

$\Rightarrow $ AH = $\frac{.........x........}{..........}$ = $\frac{...........}{..........}$ = ...................

Trả lời:

Theo định lý Py-ta-go 

$BC^{2}$ = $AB^{2}$ + $AC^{2}$ = $6^{2}$ + $8^{2}$ = 100.

- Áp dụng công thức bc = ah, ta có:

AB.AC= BC.AH

$\Rightarrow $ AH = $\frac{AB.AC}{BC}$ = $\frac{6.8}{10}$ = 4,8 cm

d) Đọc kĩ nội dung sau

• Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao tương ứng với cạnh huyền bằng tổng nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

$\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$

Em hãy sử dụng công thức $\frac{1}{h^{2}}$ = $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$ để tính độ dài đường cao trong bai tập 3 và ghi vào vở.

- So sánh kết quả trên với các làm ở trên.

Trả lời:

Áp dụng công thức $\frac{1}{h^{2}}$ = $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$, ta có:

$\frac{1}{AH^{2}}$ = $\frac{1}{AB^{2}}$ + $\frac{1}{AC^{2}}$ = $\frac{1}{6^{2}}$ + $\frac{1}{8^{2}}$ 

$\Rightarrow $ AH = 4,8 cm.

- Kết quả tính AH ở hai cách làm bằng nhau.