Bài 4.38 trang 87 toán 7 tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A} = 120 ^{\circ}$. Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:
a. ΔBAM = ΔCAN;
b. Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.
Bài Làm:
a. Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có:
- AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A)
- $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ (Do tam giác ABC cân tại A)
=> ΔBAM=ΔCAN(g.c.g)
b. Xét tam giác ABC cân tại A, có $\widehat{A} = 120 ^{\circ}$ , suy ra :
$\widehat{A} $=$\widehat{C} $= $\frac{180 ^{\circ}- 120^{\circ}}{2}$= $30 ^{\circ}$
Xét tam giác ABM vuông tại A có :
$\widehat{AMB}$ = $180 ^{\circ}$ - $90 ^{\circ}$ - $30 ^{\circ}$ = $60 ^{\circ}$
=> $\widehat{AMC}$ = $180 ^{\circ}$ - $\widehat{AMB}$ = $120 ^{\circ}$
Xét tam giác MAC, ta có :
$\widehat{MAC}$ = $180 ^{\circ}$ - $120 ^{\circ}$ - $30 ^{\circ}$ = $30 ^{\circ}$ = $\widehat{MCA}$
=> tam giác MAC cân tại M
Vì ΔBAM=ΔCAN=>BM=CN ; BN=MC
Xét 2 tam giác ANB và AMC có:
- AB=AC
- AN=AM (do ΔBAM=ΔCAN)
- BN=MC
=>ΔANB=ΔAMC (c.c.c)
Mà tam giác AMC cân tại M.
=> Tam giác ANB cân tại N.
