Câu 6: Trang 44 - sgk giải tích 12
Cho hàm số : $y=\frac{mx-1}{2x+m}$
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A(-1,\sqrt{2})$.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
Bài Làm:
a) Ta có:
- TXĐ: $D=(-\infty ;-\frac{m}{2})\cup (-\frac{m}{2},+\infty )$
- Sự biến thiên:
Ta có: $y'=\frac{m^{2}+1}{(2x+m)^{2}}>0,\forall m$ và $\forall x\in D$
=> hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Ta có: $\lim_{x \to\frac{-m}{2}}y=+\infty $
=> $x=\frac{-m}{2}$ là tiện cận đứng.
Mà $A(-1,\sqrt{2})$ thuộc đường thẳng $x=\frac{-m}{2}$
<=> $-\frac{m}{2}=-1=> m=2$
Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A(-1,\sqrt{2})$.
c) Với m = 2 ta được hàm số: $y=\frac{2x-1}{2x+2}$
- TXĐ: D = R \ {-1}
- Sự biến thiên:
Ta có : $y'=\frac{6}{(2x+2)^{2}}>0,\forall x\in D$
=> Hàm số đồng biến trên D.
- Tiệm cận:
$\lim_{x \to -1^{-}}y=+\infty $
$\lim_{x \to -1^{+}}y=-\infty $
=> x = -1 là tiệm cận đứng.
$\lim_{x \to \pm \infty }y=1$
=> y = 1 là tiệm cận ngang.
- Bảng biến thiên:
- Hàm số không có cực trị.
- Đồ thị:
