A. Tổng hợp kiến thức
I. Nguyên hàm
1. Các tính chất nguyên hàm
Tính chất 1
|
$(\int f(x)dx)'=f(x)$ $\int f'(x)dx=f(x)+C$ |
Tính chất 2
| $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ |
Tính chất 3
| $\int \left [ f(x)\pm g(x) \right ]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$ |
2. Bảng giá trị nguyên hàm cơ bản
3. Phương pháp tính nguyên hàm
- Phương pháp đổi biến số
- Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
II. Tích phân
1. Các tính chất
Tính chất 1
| $\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$ |
Tính chất 2
| $\int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$ |
Tính chất 3
| $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$ |
2. Phương pháp tính tích phân
- Phương pháp đổi biến số
- Phương pháp tính tích phân từng phần
III. Ứng dụng tích phân trong hình học
1. Tính diện tích hình phẳng
- Hình giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
|
$S=\int_{a}^{b}\left | f(x) \right |dx$
|
- Hình giới hạn bởi hai đường cong
| $S=\int_{a}^{b}\left | f_{1}(x) -f_{2}(x)\right | dx$ |
2. Tính thể tích
- Thể tích của vật thể
| $V=\int_{a}^{b}S(x)dx$ |
- Thể tích khối chóp và khối chóp cụt
| $V=\int_{0}^{h}S(x)dx$ với $S(x)=B\frac{x^{2}}{h^{2}}$ |
- Thể tích khối tròn xoay
| $V=\prod \int_{a}^{b}f^{2}(x)dx$ |
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1:Trang 126-sgk giải tích 12
a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng.
b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.
Xem lời giải
Câu 2:Trang 126-sgk giải tích 12
a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trên một đoạn.
b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.
Xem lời giải
Câu 3:Trang 126-sgk giải tích 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x)=(x−1)(1−2x)(1−3x)$
b) $f(x) =\sin 4x \cos^{2}2x$
c) $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$
d) $f(x) = (e^{x}– 1)^{3}$
Xem lời giải
Câu 4:Trang 126-sgk giải tích 12
Tính:
a) $\int (2-x)\sin xdx$
b) $\int \frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{x}}dx$
c) $\int \frac{e^{3x}+1}{e^{x}+1}dx$
d) $\int \frac{1}{(\sin x+\cos x)^{2}}dx$
e) $\int \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx$
g) $\int \frac{1}{(1+x)(2-x)}dx$
Xem lời giải
Câu 5:Trang 127-sgk giải tích 12
Tính:
a) $\int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{1+x}}dx$
b) $\int_{1}^{64}\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx$
c) $\int_{0}^{2}x^{2}e^{3x}dx$
d) $\int_{0}^{\prod}\sqrt{1+\sin 2x} dx$
Xem lời giải
Câu 6:Trang 127-sgk giải tích 12
Tính:
a) $\int_{0}^{\frac{\prod }{2}}\cos 2x\sin ^{2}xdx$
b) $\int_{-1}^{1}\left |2^{x}-2^{-x} \right |dx$
c) $\int_{1}^{2}\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{x^{2}}dx$
d) $\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}-2x-3}dx$
e) $\int_{0}^{\frac{\prod }{2}}(\sin x+\cos x)^{2}dx$
g) $\int_{0}^{\prod }(x+\sin x)^{2}dx$