A. Lí thuyết
I. Đường tiệm cận ngang
Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a,+\infty), (-\infty;b), (-\infty, +\infty))$. Đường thẳng $y=y_{0}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
- $\lim_{x \to +\infty} f(x)=y_{0}$
- $\lim_{x \to -\infty} f(x)=y_{0}$.
Ví dụ: Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+1$ xác định trên khoảng $(0,+\infty)$.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$ vì $\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}(\frac{1}{\sqrt{x}}+1)=1$
II. Đường tiệm cận đứng
Định nghĩa: Đường thẳng $x=x_{0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
- $\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=+\infty$
- $\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=-\infty$
- $\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=-\infty$
- $\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=+\infty$
Ví dụ: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số $$y=\frac{x-1}{x+2}.$$
Giải: Vì $\lim_{x \to -2^{+}}\frac{x-1}{x+2}=-\infty$ nên đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của (C).
Vì $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x-1}{x+2}=1$ nên đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của (C).
B. Bài tập & Lời giải
Bài 1: Trang 30 - sgk giải tích 12
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
a) $y=\frac{x}{2-x}$;
b) $y=\frac{-x+7}{x+1}$;
c) $y=\frac{2x-5}{5x-2}$;
d) $y=\frac{7}{x}-1$.
Xem lời giải
Bài 2: Trang 30 sgk giải tích 12
Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
a) $y=\frac{2-x}{9-x^{2}}$;
b) $y=\frac{x^{2}+x+1}{3-2x-5x^{2}}$;
c) $y=\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}$;
d) $y=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$.