Giải bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

A. Lí thuyết

I. Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa: Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

Hình dáng đồ thị: 

• Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
• Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ: Với hàm số có đồ thị như hình vẽ 

thì hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$, hàm số nghịch biến trên khoảng (-1,1).

II. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

1. Định lí

Đinh lí: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f'(x)>0$ với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu $f'(x)<0$ với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Chú ý: Mở rộng định lí: Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f'(x) \geq 0$ ($f'(x) \leq 0$) với mọi x thuộc K và $f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

• Bước 1: Tìm tập xác định
• Bước 2: Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm $x_{i}$ (i=1,2,...,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Bước 3: Sắp xếp các điểm $x_{i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số $y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x+2$

Giải: Hàm số xác định với mọi $x \in R$. Ta có $$y'=x^{2}-x-2=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=-1\hfill \cr x=2 \hfill \cr} \right.$$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty,-1) \cup (2,+\infty)$ và nghịch biến trên khoảng (-1,2).