Dạng 2: Cho hàm số $ y=a x^3+b x^2+cx+d, a\neq 0$. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.
Bài Làm:
I. Phương pháp giải:
$y$ đồng biến trên $ \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y'\geq 0, \forall x\in \mathbb{R}$.
Điều trên tương đương với
$\left\{\begin{matrix}a>0\\\Delta _{y'}\leq 0\end{matrix}\right.$
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Hàm số $y=-x^3-mx^2+(4m+9)x+5$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên $ \mathbb{R}$?
Bài giải:
Ta có $y'=-3x^2-2mx+(4m+9)$ là tam thức bậc hai có $\Delta ^{'}=m^2+12m+27$.
Hàm số nghịch biến trên $ \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{'}\leq 0, \forall x\in \mathbb{R}$, tức là:
$\Delta ^{'}\leq 0 \Leftrightarrow m^2+12m+27\leq 0\Leftrightarrow -9\leq m\leq -3$.
Vậy số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $7$.
Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=(m^2-1)x^3+(m-1)mx^2-x+4$ nghịch biến trên $ \mathbb{R}$?
Bài giải:
Ta thấy, điều kiện cần để hàm số trên nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $m^2-1 \leq 0 $ $\Leftrightarrow$ m$\in$ {-1;0;1}.
- $m=0$, $y=-x^3-x^2-x+4$. Ta có, $y'=-3x^2-2x-1<0$, $\forall$ $ x\in \mathbb{R}$
Do đó, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, (thoả mãn).
- $m=1$, $y=-x+4$. Ta có, $y'=-1<0$, $\forall x\in \mathbb{R}$
Do đó, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, (thoả mãn).
- $m=-1$, $y=-2x^2-x+4$.
Hàm số nghịch biến trên $(\frac{-1}{4}; +\infty)$, đồng biến trên $(-\infty;\frac{-1}{4})$, (không thoả mãn).
Vậy số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $2$.