A. Tổng hợp kiến thức
I. Hàm số mũ
1. Định nghĩa
- Cho a là số thực dương , khác 1.
- Hàm số $y=a^{x}$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.
2. Đạo hàm hàm mũ
Định lí 1
- Hàm số $y=e^{x}$ có đạo hàm tại mọi x .
| $(e^{x})'=e^{x}$ |
- Với hàm hợp, ta có công thức đạo hàm tương tự:
| $(e^{u})'=u'e^{u}$ |
Định lí 2
- Hàm số $y=a^{x}$, $a>0,a\neq 1$ có đạo hàm tại mọi x.
| $(a^{x})'=a^{x}\ln a$ |
- Với hàm hợp, ta có:
| $(a^{u})'=a^{u}\ln a.u'$ |
3. Khảo sát hàm số mũ $y=a^{x}$ ($a>0,a\neq 1$)
Tương tự bài toán khảo sát hàm số đã học:
- Tập xác định, sự biến thiên hàm số
- Lập bảng biến thiên
- Đồ thị hàm số
II. Hàm số Lôgarit
1. Định nghĩa
- Cho a là số thực dương , khác 1.
- Hàm số $y=\log_{a}x$ được gọi là hàm số Lôgarit cơ số a.
2. Đạo hàm hàm lôgarit
Định lí 3
- Hàm số $y=\log_{a}x$ ($a>0,a\neq 1$) có đạo hàm tại mọi $x>0$
| $(\log_{a}x)'=\frac{1}{x \ln a}$ |
- Đặc biệt: $(\ln x)'=\frac{1}{x}$
- Với hàm hợp, ta có công thức tương tự:
| $(\log_{a}u)'=\frac{u'}{u \ln a}$ |
3. Khảo sát hàm số lôgarit
- Tập xác định, sự biến thiên hàm số
- Lập bảng biến thiên
- Đồ thị hàm số lôgarit
Một số công thức đạo hàm cần ghi nhớ
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1:Trang 77 - sgk giải tích 12
Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y=4^{x}$
b) $y=\frac{1}{4}^{x}$
Xem lời giải
Câu 2: Trang 77 - sgk giải tích 12
Tính đạo hàm của các hàm số:
a) $y=2xe^{x}+3\sin 2x$
b) $y=5x^{2}+2^{x}\cos x$
c) $y=\frac{x+1}{3^{x}}$
Xem lời giải
Câu 3: Trang 77 - sgk giải tích 12
Tìm tập xác định của các hàm số:
a) $y=\log_{2}(5-2x)$
b) $y=\log_{3}(x^{2}-2x)$
c) $y=\log_{\frac{1}{5}}(x^{2}-4x+3)$
d) $y=\log_{0,4}\frac{3x+2}{1-x}$
Xem lời giải
Câu 4: Trang 78 - sgk giải tích 12
Vẽ đồ thị của các hàm số:
a) $y=\log x$
b) $y=\log _{\frac{1}{2}}x$
Xem lời giải
Câu 5: Trang 78 - sgk giải tích 12
Tính đạo hàm của các hàm số:
a) $y= 3x^{2} – \ln x + 4 \sin x$
b) $y= \log (x^{2}+ x + 1)$
c) $y=\frac{\log _{3}x}{x}$
Xem lời giải
Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức chứa mũ và lôgarit.
Chứng minh bất đẳng thức: $f(x)> g(x)$ tương tự cho $\leq ; \geq ; <$.