A. Tổng hợp kiến thức
I. Tính diện tích hình phẳng
1. Hình giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Công thức tổng quát
|
$S=\int_{a}^{b}\left | f(x) \right |dx$ |
2. Hình giới hạn bởi hai đường cong
Từ hình vẽ:
=> $S=S_{1}-S_{2}=\int_{a}^{b}(f_{1}(x)-f_{2}(x))dx$
Công thức tổng quát
| $S=\int_{a}^{b}\left | f_{1}(x) -f_{2}(x)\right | dx$ |
Chú ý:
- Ta có thể chia nhỏ từng khoảng giá trị để tính tích phân, sau đó ghép chúng lại để được kết quả tích phan ban đầu.
|
$S=\int_{a}^{c}\left | f_{1}(x) -f_{2}(x)\right | dx=\left | \int_{a}^{c}(f_{1}(x) -f_{2}(x))dx \right |$ |
II. Tính thể tích
1. Thể tích của vật thể
Công thức tổng quát
| $V=\int_{a}^{b}S(x)dx$ |
2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt
- Với OI = h ( chiều cao)
- B là diện tích đáy.
Ta có:
| $S(x)=B\frac{x^{2}}{h^{2}}$ |
Công thức tổng quát
| $V=\int_{0}^{h}S(x)dx$ |
III. Thể tích khối tròn xoay
Công thức tổng quát
| $V=\prod \int_{a}^{b}f^{2}(x)dx$ |
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1:Trang 121-sgk giải tích 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) $y = x^{2}$, $y = x + 2$
b) $y=\ln \left | x \right |$, $y=1$
c) $y = (x – 6)^{2}$, $y = 6x– x^{2}$
Xem lời giải
Câu 2:Trang 121-sgk giải tích 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=x^{2}+1$ , tiếp tuyến với đường này tại hai điểm M(2; 5) và trục Oy.
Xem lời giải
Câu 3:Trang 121-sgk giải tích 12
Parabol $y=\frac{x^{2}}{2}$ chia hình tròn có tâm tại gộc toạ độ, bán kính $2\sqrt{2}$ thành hai phần.
Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Xem lời giải
Câu 4:Trang 121-sgk giải tích 12
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) $y = 1 - x^{2}$ ,$y = 0$
b) $y = \cos x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \prod$
c) $y = \tan x$, $y = 0$, $x = 0$, $x=\frac{\prod}{4}$
Xem lời giải
Câu 5:Trang 121-sgk giải tích 12
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt $\widehat{POM}=\alpha $
và OM = R ( $0\leq \alpha \leq \frac{\prod }{3},R>0$ )
Gọi $v$ là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh Ox (H.63).
a) Tính thể tích của $V$ theo $\alpha$ và R.
b) Tìm $\alpha$ sao cho thể tích $V$ là lớn nhất.
Xem lời giải
Phần tham khảo mở rộng
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x) và y=g(x).