A. Tổng hợp kiến thức
I. Khái niệm
- Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].
- F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b].
=> Hiệu số F(b) - F(a) gọi là tích phân từ a -> b .
Ký hiệu: $\int_{a}^{b}f(x)dx$ với a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Công thức tổng quát
| $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ |
Chú ý:
Với $a=b$ hoặc $a>b$, ta quy ước:
- $\int_{a}^{b}f(x)dx=0$
- $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$
==> Ý nghĩa hình học của tích phân
- Ta nói $\int_{a}^{b}f(x)dx$ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng $x=a$ và $x=b$.
| $S=\int_{a}^{b}f(x)dx$ |
II. Tính chất của tích phân
Tính chất 1
| $\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$ |
Tính chất 2
| $\int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$ |
Tính chất 3
| $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$ |
III. Phương pháp tính tích phân
- Phương pháp đổi biến số
- Phương pháp tính tích phân từng phần
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1:Trang 112 - sgk giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a) $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1-x)^{2}}dx$
b) $\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}\sin (\frac{\prod }{4}-x) dx$
c) $\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x(x+1)} dx$
d) $\int_{0}^{2}x(x+1) ^{2}dx$
e) $\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx$
g) $\int_{-\frac{\prod} {2}}^{\frac{\prod}{2}}\sin 3xcos 5xdx$
Xem lời giải
Câu 2:Trang 112 - sgk giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a) $\int_{0}^{2}\left | 1-x \right | dx$
b) $\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}\sin^{2}xdx$
c) $\int_{0}^{\ln 2}\frac{e^{2x+1+1}}{e^{x}} dx$
d) $\int_{0 }^{\prod}\sin 2x\cos^{2}xdx$
Xem lời giải
Câu 3: Trang 113 - sgk giải tích 12
Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:
a) $\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx$ đặt $u=x+1$
b) $\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}} dx$ đặt $x=\sin t$
c) $\int_{0}^{1}\frac{e^{x}(1+x)}{1+xe^{x}} dx$ đặt $u=1+xe^{x}$
d) $\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx$, $(a>0)$ đặt $x=a\sin t$
Xem lời giải
Câu 4:Trang 113 - sgk giải tích 12
Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
a) $\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}(x+1)\sin xdx$
b) $\int_{1}^{e}x^{2}\ln xdx$
c) $\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx$
d) $\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx$
Xem lời giải
Câu 5:Trang 113 - sgk giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a) $\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx$
b) $\int_{0}^{\frac{1}{2}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}}dx$
c) $\int_{1}^{2}\frac{\ln (1+x)}{x^{2}}dx$
Xem lời giải
Câu 6:Trang 113 - sgk giải tích 12
Tính $\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx$ bằng hai cách:
a) Đổi biến số $u=1-x$
b) Tích phân từng phần.
Xem lời giải
Phần tham khảo mở rộng
Dạng 1: Tính tích phân dùng phương pháp đồng nhất hệ số với phân thức có mẫu ở dạng tích
Xem lời giải
Dạng 2: Tính tích phân của những phân thức có bậc tử và bậc mẫu chênh lệch lớn.
Xem lời giải
Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp đưa về các phân thức có mẫu số là biểu thức bình phương
Xem lời giải
Dạng 4: Tính tích phân của phân thức có bậc của tử số lớn hơn bậc mẫu số.