A. Tổng hợp kiến thức
I. Khái niệm
- Cho hai số dương a, b ( a khác 1). Số a thảo mãn đẳng thức $a^{\alpha}=b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b.
- Ký hiệu: $\log_{a}b$
| $\alpha =\log_{a}b<=> a^{\alpha }=b$ $a,b>0,a\neq 1$ |
Chú ý:
- Không có lôgarit của số âm và số 0.
Tính chất
|
$\log_{a}1=0$ $\log_{a}a=1$ $a^{\log_{a}b}=b$ $\log_{a}(a^{\alpha })=\alpha $ |
II. Quy tắc tính Lôgarit
1. Lôgarit của một tích
Định lí 1
- Cho 3 số dương $a,b_{1},b_{2}$ với $a\neq 1$, ta có:
| $\log_{a}(b_{1}b_{2})=\log_{a}b_{1}+\log_{a}b_{2}$ |
- Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.
Ví dụ minh họa:
Tính: $\log_{3}(9.27)$
Áp dụng công thức, tính chất Lôgarit ta có:
$\log_{3}(9.27)=\log_{3}9+\log_{3}27=2+3=5$
Chú ý:
- Với $n$ số dương, ta có: $\log_{a}(b_{1}.b_{2}...b_{n})=\log_{a}b_{1}+\log_{a}b_{2}+..+\log_{a}b_{n}$ với $a,b_{1},b_{2},..,b_{n}>0,a\neq 1$.
2. Lôgarit của một thương
Định lí 2
- Cho 3 số dương $a,b_{1},b_{2}$ với $a\neq 1$, ta có:
| $\log_{a}(\frac{b_{1}}{b_{2}})=\log_{a}b_{1}-\log_{a}b_{2}$ |
- Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.
- Đặc biệt: $\log_{a}\frac{1}{b}=-\log_{a}b$
3. Lôgarit của một lũy thừa
Định lí 3
- Cho 2 số dương $a,b$ với $a\neq 1$, ta có:
| $\log_{a}b^{\alpha }=\alpha \log_{a}b$ |
- Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
- Đặc biệt: $\log_{a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}\log_{a}b$
III. Đổi cơ số
Định lí 4
- Cho 3 số dương $a,b,c$ với $a\neq 1,c\neq 1$, ta có:
| $\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ |
- Đặc biệt: $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$
$\log_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha}\log_{a}b$
IV. Lôgarit thập phân.Lôgarit tự nhiên
1. Lôgarit thập phân
- Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.
- $\log_{10}b$ thường được viết $\log b$ hoặc $\lg b$.
2. Lôgarit tự nhiên
- Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số e.
- $\log_{e}b$ còn được viết $\ln b$.
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1: Trang 68- sgk giải tích 12
Không sử dụng máy tính, hãy tính:
a) $\log _{2}\frac{1}{8}$
b) $\log _{\frac{1}{4}}2$
c) $\log _{3}\sqrt[4]{3}$
d) $\log _{0,5}0,125$
Xem lời giải
Câu 2: Trang 68- sgk giải tích 12
Tính:
a) $4^{\log _{2}3}$
b) $27^{\log _{9}2}$
c) $9^{\log _{\sqrt{3}}2}$
d) $4^{\log _{8}27}$
Xem lời giải
Câu 3: Trang 68- sgk giải tích 12
Rút gọn biểu thức:
a) $\log _{3}6.\log _{8}9.\log _{6}2$
b) $\log _{a}b^{2}+\log _{a^{2}}b^{4}$
Xem lời giải
Câu 4: Trang 68- sgk giải tích 12
So sánh các cặp số sau:
a) $\log _{3}5$ và $\log _{7}4$
b) $\log _{0,3}2$ và $\log _{5}3$
c) $\log _{2}10$ và $\log _{5}30$
Xem lời giải
Câu 5: Trang 68- sgk giải tích 12
a) Cho $a=\log _{30}3$, $b=\log _{30}5$.
Hãy tính $\log _{30}1350$ theo a, b.
b) Cho $c=\log _{15}3$. Hãy tính $\log _{25}15$ theo c.