A. Lí thuyết
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$) và điểm $x_{0} \in (a,b)$
- Nếu tồn tại số h>0 sao cho $f(x) <f(x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0}-h, x_{0}+h)$ và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại $x_{0}$.
- Nếu tồn tại số h>0 sao cho $f(x) >f(x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0}-h, x_{0}+h)$ và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại $x_{0}$.
Chú ý:
1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại $x_{0}$ thì
- $x_{0}$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số
- $f(x_{0})$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.
- $M(x_{0},f(x_{0}))$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) được gọi chung là cực trị của hàm số.
3. Nếu y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x_{0}$ thì $f'(x_{0})=0$.
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
III. Quy tắc tìm cực trị
Cách 1:
- Bước 1: Tìm tập xác định.
- Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên.
- Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cách 2:
- Bước 1: Tìm tập xác định.
- Bước 2: Tính $f'(x)$. Giải phương trình $f'(x)=0$ và kí hiệu $x_{i}$ (i=1,2,...,n) là các nghiệm của nó.
- Bước 3: Tính $f''(x)$ và $f''(x_{i})$.
- Bước 4: Dựa vào dấu của $f''(x_{i})$ suy ra tính cực trị của điểm $x_{i}$
Cụ thể $f''(x_{i}>0$ thì $x_{i}$ là điểm cực tiểu và $f''(x_{i})<0$ thì $x_{i}$ là điểm cực đại.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số $$f(x)=\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}+6.$$
Giải: TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có $y'=x^{3}-4x=x(x^{2}-4) \Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=0 \hfill \cr x=-2 \hfill \cr x=-2 \hfill \cr} \right.$
Cách 1:
Bảng biến thiên
Vậy hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại $x=-2$ và $x=2$ ; $f_{CT}=f(\pm 2)=2$.
Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại $x=0$ và $f_{CĐ}=f(0)=6$.
Cách 2: Ta có $f''(x)=3x^{2}-4$
$f(\pm 2)=8>0$ nên x=-2 và x=2 là hai điểm cực tiểu.
$f''(0)=-4<0$ nên x=0 là điểm cực đại.
Vậy hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại $x=-2$ và $x=2$ ; $f_{CT}=f(\pm 2)=2$.
Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại $x=0$ và $f_{CĐ}=f(0)=6$.
Chú ý: Hàm số đạt cực đại tại x=0 và $f_{CĐ}=f(0)=6$ tuy nhiên hàm số không có GTLN.
Bài tập & Lời giải
Bài 1: Trang 18 - sgk giải tích 12
Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau
a) $y=2x^{3}+3x^{2}-36x-10$.
b) $y=x^{4}+2x^{2}-3$.
c) $y=x+\frac{1}{x}$.
d) $y=x^{3}(1-x^{2})$.
e) $y=\sqrt{x^{2}-x+1}$
Xem lời giải
Bài 2: Trang 18 - sgk giải tích 12
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau
a) $y=x^{4}-2x^{2}+1$;
b) $y=\sin 2x-x$;
c) $y=\sin x +\cos x$;
d) $y=x^{5}-x^{3}-2x+1$.
Xem lời giải
Bài 3: Trang 18 - sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{|x|}$ không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Xem lời giải
Bài 4: Trang 18 - sgk giải tích 12
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số $y=x^{3}-mx^{2}-2x+1$ luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Xem lời giải
Bài 5: Trang 18 - sgk giải tích 12
Tìm a và b để các cực trị của hàm số $$y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b$$ đều là những số dương và $x_{0}=-\frac{5}{9}$ là điểm cực đại.
Xem lời giải
Bài 6: Trang 18 - sgk giải tích 12
Xác định giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{x^{2}+mx+1}{x+m}$ đạt cực đại tại $x=2$.
Xem lời giải
Phần tham khảo mở rộng
Dạng 1: Xác định điểm cực đại ( $x_{CD}$), điểm cực tiểu ( $x_{CT}$), giá trị cực đại ($y_{CD}$), giá trị cực tiểu ($y_{CT}$) của hàm số.
Xem lời giải
Dạng 2: Cho hàm số $f_{m}(x)$ (m là tham số thực). Giả sử hàm số có đạo hàm tại $x_{0}$. Tìm tất cả những giá trị thực của m để hàm số đạt cực trị (cực tiểu, cực đại) tại x = $x_{0}$.
Xem lời giải
Dạng 3: Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$. Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số thoả mãn một điều kiện nào đó về số lượng của các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).
Xem lời giải
Dạng 4: Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$. Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}$ và $x_{2}$ thoả mãn một điều kiện nào đó.
Xem lời giải
Dạng 5: Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ (C). Giả sử hàm số có hai điểm cực trị, gọi d là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của (C). Ta xét một số câu hỏi liên quan đến đường thẳng d, chẳng hạn:
- Nhận dạng đường thẳng nào là đường thẳng d;
- Tìm điểm thuộc đường thẳng d.
Xem lời giải
Dạng 6: Cho hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c$. Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó về số lượng các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).