Dạng 5: Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ (C). Giả sử hàm số có hai điểm cực trị, gọi d là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của (C). Ta xét một số câu hỏi liên quan đến đường thẳng d, chẳng hạn:
- Nhận dạng đường thẳng nào là đường thẳng d;
- Tìm điểm thuộc đường thẳng d.
Bài Làm:
I.Phương pháp giải
Để giải quyết những bài toán dạng này, ta cần nắm được (xem lại điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba):
- Cách lập phương trình đường thẳng d;
- Một số tính chất của đường thẳng d.
Chú ý:
Hàm số bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$.
Chia $f(x)$ cho $f(x)^{'}$ ta được: $f(x)$ = $Q(x)$.$f(x)^{'}$ + Ax + B.
Khi đó nếu $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm cực trị thì:$y_{1} = f_{1} = Ax_{1} + B$. và $y_{2} = f_{2} = Ax_{2} + B$.
Suy ra các điểm $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ nằm trên đường thẳng $y = Ax + B$.
II.Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho hàm số $y = -x^{3} + 3mx^{2} + 3(1 - m^{2})x + m^{3}-m^{2}$. Viết phương trình đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho.
Bài giải:
Ta có: $y^{'} = -3x^{2} + 6mx + 3(1-m^{2})$.
Phương trình $y^{'}=0$ có $\Delta ^{'} = 9 > 0$, với mọi m $\Rightarrow $ đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$.
Chia $y$ cho $y^{'}$ ta được: $y = (\frac{1}{3}x-\frac{m}{3})y^{'} + 2x - m^{2} + m$.
Khi đó: $y_{1} = 2x_{1} - m^{2} + m$; $y_{2} = 2x_{2} - m^{2} + m$.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: $y = 2x - m^{2} + m$.
Bài tập 2: Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2} + mx$. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d: x -2y - 5 = 0.
Bài giải:
Ta có: $y^{'}=3x^{2}-6x+m$.
Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow y^{'}=3x^{2}-6x+m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ^{'}=9-3m> 0\Leftrightarrow m< 3$.
Ta có: $y=(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3})y^{'}+(\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m$.
Do đó đường thẳng $\Delta $ đi qua các điểm cực trị có phương trình: $y= (\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m$.
$\Delta $ có hệ số góc là $k_{1}=\frac{2}{3}m-2$.
d: x -2y - 5 = 0 $\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$ nên d có hệ số góc là $k_{2}=\frac{1}{2}$
Đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d: x -2y - 5 = 0 nên $d\perp \Delta$.
$\Leftrightarrow k_{1}.k_{2}=-1\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\frac{2}{3}m-2)=-1\Leftrightarrow m=0$.
Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; -4), nên trung điểm của chúng là I(1; -2).
Ta thấy I(1; -2) thuộc đường thẳng d: x -2y - 5 = 0 nên hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua đường thẳng d.
Vậy m = 0.