Dạng 3: Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$. Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số thoả mãn một điều kiện nào đó về số lượng của các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).
Bài Làm:
I.Phương pháp giải
Ta xét đủ các trường hợp:
- TH1: a = 0:
- Nếu b $\neq $ 0 thì $y = bx^{2} + cx + d$ là hàm bậc hai nên có đúng một điểm cực trị;
- Nếu b = 0 thì $y = cx + d$ không có điểm cực trị;
- TH2: a $\neq $ 0. Trong trường hợp này, hàm đã cho là bậc ba. Hàm số có thể không có hoặc có hai điểm cực trị tuỳ vào số nghiệm của $y^{'}$.
II.Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số $y = (m - 3)x^{3} - 2mx^{2} + 3$ không có cực trị.
Bài giải:
Tập xác định: $D = R$.
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: m - 3 = 0 $\Leftrightarrow $ m = 3. Khi đó, $y = -6x^{2} + 3$ là một hàm bậc hai có một điểm cực trị (loại).
TH2: m - 3 $\neq $ 0 $\Leftrightarrow $ m $\neq $ 3. Trong trường hợp này, y là hàm bậc ba.
Ta có: $y = 3(m -3)x^{2} - 4mx$, có $\Delta ^{'} = 4m^{2}$.. Điều kiện để hàm số không có cực trị là $\Delta ^{'} \leq 0$ $\Leftrightarrow $ m = 0.
Vậy m = 0.
Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau có hai cực trị (một cực đại, một cực tiểu):
$y = \frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + (m + 6)x - 1$.
Bài giải:
Tập xác định: $D = R$.
Ta có: $y^{'} = x^{2} + 2mx + m + 6$, có $\Delta ^{'} = m^{2} - m - 6$.
Hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow $ $y^{'}$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ $\Delta ^{'} = m^{2} - m - 6$ > 0.
$\Leftrightarrow $ m > 3 hoặc m < -2.
Vậy m > 3 hoặc m < -2.