Câu 2: Trang 43 - sgk giải tích 12
Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) $y = -x^{4} + 8x^{2} - 1$
b) $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$
c) $y=\frac{1}{2}x^{4}+x^{2}-\frac{3}{2}$
d) $y=-2x^{2}-x^{4}+3$
Bài Làm:
a)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
Ta có: $y' = -4x^{3} + 16x = -4x(x^{2} - 4)$
=> $y' = 0 <=> -4x(x^{2} - 4) = 0 => x = 0 ; x = ±2$
- Giới hạn:
- Bảng biến thiên:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2).
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞).
- Cực trị: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (0; -1).
Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là: (-2; 15) và (2; 15).
- Đồ thị:
b)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
Ta có: $y' = 4x^{3} - 4x = 4x(x^{2} - 1)$
=> $y' = 0 <=> 4x(x^{2} - 1) = 0 => x = 0 ; x = ±1$
- Giới hạn: $\lim_{x \to -\infty }y=+\infty $
$\lim_{x \to +\infty }y=+\infty $
- Bảng biến thiên:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).
- Cực trị: Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2).
- Đồ thị:
c)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
Ta có: $y' = 2x^{3} + 2x = 2x(x^{2} + 1)$
=> $y' = 0 <=> 2x(x^{2} + 1) = 0 => x = 0$.
- Giới hạn: $\lim_{x \to -\infty }y=+\infty $
$\lim_{x \to +\infty }y=+\infty $
- Bảng biến thiên:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).
- Cực trị: Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2).
- Đồ thị:
d)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
Ta có: $y' = -4x - 4x^{3} = -4x(1 + x^{2})$
=> $y' = 0 <=> -4x(1 + x^{2}) = 0 => x = 0$.
- Giới hạn: $\lim_{x \to -\infty }y=+\infty $
$\lim_{x \to +\infty }y=+\infty $
- Bảng biến thiên:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).
- Cực trị: Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).
- Đồ thị:
