Câu 4: Trang 44 - sgk giải tích 12
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) $x^{3} - 3x^{2} + 5 = 0$
b) $-2x^{3}+ 3x^{2} - 2 = 0$
c) $2x^{2} - x^{4} = -1$
Bài Làm:
a) $x^{3} - 3x^{2} + 5 = 0$ (1)
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y =x^{3} - 3x^{2} + 5 và trục hoành ( y = 0 ).
Xét hàm số $y=x^{3} - 3x^{2} + 5$ ta có:
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x = 3x(x - 2)$
=> $y' = 0 => x = 0 ; x = 2$
- Giới hạn:
- Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
=> Đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 5$ chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
=> Phương trình $x^{3} - 3x^{2} + 5 = 0$ chỉ có 1 nghiệm.
b) $-2x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0$
<=> $2x^{3} - 3x^{2} = -2$ (2)
Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2x^{3} - 3x^{3}$ và đường thẳng $y = -2$.
Xét hàm số $y = 2x^{3} - 3x^{2}$
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
Ta có: $y' = 6x^{2} - 6x = 6x(x - 1)$
=> $y' = 0 => x = 0 ; x = 1$
- Giới hạn:
- Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
=> Đồ thị hàm số $y = 2x^{3} - 3x^{2}$ chỉ cắt đường thẳng $y = -2$ tại 1 điểm duy nhất.
=> Phương trình $2x^{3} - 3x^{2} = -2$ chỉ có 1 nghiệm.
c) $2x^{2} - x^{4}= -1$ (3)
Số nghiệm của phương trình (3) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2x^{2} - x^{4}$ và đường thẳng $y = -1$.
Xét hàm số $y = 2x^{2} - x^{4}$ ta có:
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
Ta có: $y' = 4x - 4x^{3} = 4x(1 - x^{2})$
=> $y' = 0 => x = 0 ; x = ±1$
- Giới hạn:
- Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
=> Đồ thị hàm số $y = 2x^{2} - x^{4}$ cắt đường thẳng $y = -$1 tại hai điểm.
=> Phương trình $2x^{2} - x^{4} = -$ có hai nghiệm phân biệt.