Dạng 3: Xét dấu các hệ số của hàm bậc nhất trên bậc nhất, phân tích đồ thị hàm số.
Bài Làm:
I.Phương pháp giải
Xét đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq 0, ad-cb\neq 0$). Ta có:
a) Đồ thị có TCN là đường thẳng $y=\frac{a}{c}$.
- TCN nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}>0\Leftrightarrow a.c>0$.
- TCN nằm phía dưới trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}<0\Leftrightarrow a.c<0$.
- TCN là trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}=0\Leftrightarrow a.c=0$.
b) Đồ thị có TCĐ là đường thẳng $x=\frac{-d}{c}$.
- TCĐ nằm bên phải trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}>0\Leftrightarrow d.c<0$;
- TCĐ nằm bên trái trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}<0\Leftrightarrow d.c>0$;
- TCĐ là trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}=0\Leftrightarrow d=0$.
c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm $M(0; \frac{b}{d})$:
- M nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}>0\Leftrightarrow b.d>0$;
- M nằm phía dưới trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}<0\Leftrightarrow b.d<0$;
- M nằm thuộc trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}=0\Leftrightarrow b=0$.
II.Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq 0, ad-bc\neq 0$) có đồ thị như hình vẽ.
Chứng minh $\left\{\begin{matrix}ad>0\\ bc<0\end{matrix}\right.$.
Bài giải:
Nhìn vào đồ thị ta thấy:
- Đồ thị có TCN là đường thẳng $y=\frac{a}{c}$, đường thằng này nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}>0\Leftrightarrow a.c>0$.
- Đồ thị có TCĐ là đường thẳng $x=\frac{-d}{c}$, đường thẳng nằm bên trái trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}<0\Leftrightarrow d.c>0$.
- Giao điểm của đồ thị với trục tung nằm bên dưới trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}<0\Leftrightarrow b.d<0$.
Ta chọn a > 0 nên suy ra $\left\{\begin{matrix}c>0\\ b<0\\ d>0\end{matrix}\right.$. Do đó $\left\{\begin{matrix}ad>0\\ bc<0\end{matrix}\right.$ (đpcm).
Bài tập 2: Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq 0, ad-bc\neq 0$) có đồ thị như hình vẽ.
Xác định dấu của ad, bc.
Bài giải:
Nhìn vào đồ thị ta thấy:
- Đồ thị có TCN là đường thẳng $y=\frac{a}{c}$, đường thằng này nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}>0\Leftrightarrow a.c>0$.
- Đồ thị có TCĐ là đường thẳng $x=\frac{-d}{c}$, đường thẳng nằm bên phải trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}>0\Leftrightarrow d.c<0$.
- Giao điểm của đồ thị với trục tung nằm bên dưới trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}<0\Leftrightarrow b.d<0$.
Ta chọn a > 0 nên suy ra $\left\{\begin{matrix}c>0\\ b>0\\ d<0\end{matrix}\right.$. Do đó $ad<0; bc>0$ .