Câu 9: Trang 46 - sgk giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: $\frac{1}{2}x^{4}-3x^{2}+\frac{3}{2}$
b) Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $f"(x) = 0$.
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: $x^{4} - 6x^{2} + 3 = m$.
Bài Làm:
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
Ta có: $f'(x) = 2x^{3} - 6x = 2x(x^{2} - 3)$
=> $f'(x) = 0 <=> 2x(x^{2} - 3) = 0$
<=> $x = 0; x=\pm \sqrt{3}$
- Giới hạn: $\lim_{x \to \pm \infty }f(x)=+\infty $
- Bảng biến thiên:
- Hàm số đồng biến trên $(-\sqrt{3}; 0)$ và $(\sqrt{3}3; +∞)$.
- Hàm số nghịch biến trên $(-∞; -\sqrt{3})$ và $(0; \sqrt{3})$.
- Cực trị: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại (0; 3/2)
Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại (-√3; -3) và (√3; -3)
- Đồ thị:
b) Ta có: $f"(x) = 6x^{2} - 6 = 6(x^{2} - 1)$
=> #f"(x) = 0 <=> 6(x^{2} - 1)$
<=> $x=\pm 1=> y=-1$
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $(-1; -1)$ là: $y = f'(-1)(x + 1) - 1$
<=> $y = 4x + 3$
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $(1; -1)$ là: $y = f'(1)(x - 1) - 1$
<=> $y = -4x + 3$
c) Ta có: $x^{4} - 6x^{2} + 3 = m$
<=> $\frac{1}{2}x^{4}-3x^{2}+\frac{3}{2}=\frac{m}{2}$ (1)
=>Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng $y =\frac{m}{2}$.
Biện luận:
- $\frac{m}{2} < - 3 <=> m < -6$ => phương trình vô nghiệm.
- $\frac{m}{2} = -3 <=> m = -6$ => phương trình có 2 nghiệm.
- $\frac{m}{2}=\frac{3}{2} <=> m = 3$ => phương trình có 3 nghiệm.
- $\frac{m}{2}>\frac{3}{2} <=> m > 3$ => phương trình có 2 nghiệm.
- $-3 < \frac{m}{2} < \frac{3}{2} <=> -6 < m < 3$ => phương trình có 4 nghiệm.
==> Kết luận:
- $m < - 6$ thì phương trình vô nghiệm.
- $m = - 6$ hoặc $m > 3$ thì phương trình có 2 nghiệm.
- $m = 3$ thì phương trình có 3 nghiệm.
- $– 6 < m < 3$ thì phương trình có 4 nghiệm.