Câu 5: Trang 45 - sgk giải tích 12
Cho hàm số $y = 2x^{2} + 2mx + m - 1$ có đồ thị là ($C_{m}$), m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 1$.
b) Xác định m để hàm số:
i) Đồng biến trên khoảng $(-1; +∞)$.
ii) Có cực trị trên khoảng $(-1; +∞)$.
c) Chứng minh rằng ($C_{m}$) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Bài Làm:
a) Với $m = 1$, ta được hàm số: $y = 2x^{2} + 2x$
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
Ta có: $y' = 4x + 2$
=> $y' = 0 => x = \frac{-1}{2}$
- Bảng biến thiên:
- Hàm số nghịch biến trên $(-∞; \frac{-1}{2})$, đồng biến trên $(\frac{-1}{2}; +∞)$.
- Cực trị: Hàm số có điểm cực tiểu là $(\frac{-1}{2}; \frac{3}{2})$
- Đồ thị:
b) Xét hàm số $y = 2x^{2} + 2mx + m - 1$
Ta có: $y' = 4x + 2m = 2(2x + m)$
=> $y' = 0 => x = \frac{-m}{2}$
Ta có bảng xét dấu y':
=> Hàm số có cực trị tại $x = \frac{-m}{2}$
Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; +∞)$
<=> $\frac{-m}{2}\leq -1$
<=> $m\geq 2$
Vậy khi $m\geq 2$ thì hàm số trên đồng biến trên khoảng $(-1; +∞)$.
Để hàm số có cực trị trên khoảng $(-1; +∞)$
<=> $\frac{-m}{2}>-1$
<=> $m<2$
Vậy khi $m<2$ thì hàm số trên có cực trị trên khoảng $(-1; +∞)$.
c) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ($C_{m}$) và trục Ox là: $2x^{2} + 2mx + m - 1 = 0$ (1)
Xét: $Δ' = m^{2} - 2(m - 1) = m^{2} - 2m + 2= (m + 1)^{2} + 1 > 0 ∀ m ∈ R$
=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
=> (đpcm).