Câu 2:Trang 45 - sgk giải tích 12
Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm.
Tìm các cực trị của hàm số: $y=x^{4}-2x^{2}+2$
Bài Làm:
Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm:
Quy tắc I
- Tìm tập xác định.Tính $f'(x)$.
- Tìm các điểm tại đó để $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
- Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị ( cực đại và cực tiểu ) của hàm số.
Quy tắc II
- Tìm tập xác định.Tính $f'(x)$.
- Giải phương trình $f'(x)=0$ và kí hiệu $x_{i} ( i =0,1,2,... )$ là các nghiệm của nó.
- Tính $f''(x)$ và $f''(x_{i})$.
- Dựa vào dấu của $f''(x_{i})$ suy ra tính chất cực trị của điểm $x_{i}$.
Xét hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$, ta có:
$y' = 4x^{3} - 4x = 4x(x^{2} - 1)$
=> $y' = 0 <=> 4x(x^{2} - 1) = 0 => x = 0; x = ±1$
=> $y" = 12x^{2} - 4$
Áp dụng Quy tắc II, ta có:
- $y"(0) = -4 < 0 => x = 0$ là điểm cực đại.
- $y"(-1) = y"(1) = 8 > 0 => x = ±1$ là hai điểm cực tiểu.
Vậy $x=0$ là điểm cực đại của hàm số đã cho.
$x = ±1$ là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.