Câu 11: Trang 46 - sgk giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của đường thẳng $y = 2x + m$ luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.
c) Xác định m sao cho độ dài MN nhỏ nhất.
Bài Làm:
a)
- TXĐ: D = R \ (-1)
- Sự biến thiên: $y'=-\frac{2}{(x+1)^{2}}<0,\forall x\in D$
=> Hàm số luôn nghịch biến trên D.
=> Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
$\lim_{x \to -1^{-}}\frac{x+3}{x+1}=-\infty $
$\lim_{x \to -1^{+}}\frac{x+3}{x+1}=+\infty $
=> $x = -1$ là tiệm cận đứng.
$\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x+3}{x+1}=1$
=> $y=1$ là tiệm cận ngang.
- Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2x + m là: $\frac{x+3}{x+1}=2x+m$
<=> $\left\{\begin{matrix}2x^{2}+(m+1)x+m-3=0 & \\ x\neq -1 & \end{matrix}\right.$
=> x = -1 không là nghiệm của phương trình trên.
Ta có: $Δ = (m + 1)^{2} - 8(m - 3) = m^{2} - 6m + 25= (m - 3)^{2} + 16 > 0,∀ m$
=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
Vậy đường thẳng $y = 2x + m$ luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M và N.
c) Giả sử $M(x_{1}; y_{1}), N(x_{2}; y_{2})
=> $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của phương trình trên
=> $y_{1} = 2x_{1} + m, y_{2} = 2x_{2}+ m$.
ÁP dụng hệ thức Vi-et, ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-\frac{m+1}{2}& \\ x_{1}.x_{2}=\frac{m-3}{2} & \end{matrix}\right.$
=> $\overrightarrow{MN}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})=(x_{2}-x_{1},2x_{2}-2x_{1})$
=> $MN^{2}=5(x_{2}-x_{1})^{2}=5(x_{1}+x_{2})^{2}-20x_{1}x_{2}$
<=> $MN^{2}=\frac{5}{4}(m-3)^{2}+20\geq 20,\forall m$
Theo bài ra, để MN đạt giá trị nhỏ nhất <=> $MN^{2}= 20$
<=> $MN=\sqrt{20}$
Dấu " = " xảy ra <=> $m-3=0 <=> m=3$.