Câu 10: Trang 46 - sgk giải tích 12
Cho hàm số $y = -x^{4} + 2mx^{2} - 2m + 1$ (m tham số) có đồ thị là ($C_{m}$).
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
d) Với giá trị nào của m thì ($C_{m}$) cắt trục hoành?
c) Xác định để ($C_{m}$) có cực đại, cực tiểu.
Bài Làm:
a) Ta có: $y' = -4x^{3} + 4mx = 4x(m - x^{2})$ (*)
=> $y' = 0 <=> 4x(m - x^{2}) = 0$
=> $x = 0; x^{2} = m$.
Với $m ≤ 0$ => (*) có 1 nghiệm.
=> Hàm số không có cực trị.
Với $m > 0$ => (*) có 3 nghiệm
=> Hàm số có 3 cực trị.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: $-x^{4} + 2mx^{2} - 2m + 1 = 0$ (1)
Đặt $x^{2} = t (t ≥ 0)$
=> (1) <=> $-t^{2} + 2mt - 2m + 1 = 0$ (2)
Để ($C_{m}$) cắt trục hoành <=> (1) phải có nghiệm <=> (2) có nghiệm không âm.
TH1: Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu
<=> $P<0$
<=> $\frac{-2m+1}{-1}<0<=>-2m+1>0$
<=> $m<\frac{1}{2}$
TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm đều không âm
<=> $\left\{\begin{matrix}\Delta \geq 0 & & \\ S\geq 0 & & \\ P\geq 0 & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}m^{2}+2m-1+ \geq 0 & & \\ m\geq 0 & & \\ 2m-1\geq 0 & & \end{matrix}\right.$
<=> $m\geq \frac{1}{2}$
Vậy với mọi giá trị m thì ($C_{m}$) cắt trục hoành.
c) Để ($C_{m}$) có cực đại, cực tiểu <=> (*) có ba nghiệm phân biệt.
<=> $x^{2} = m$ có 2 nghiệm phân biệt.
<=> $m > 0$
Vậy khi $m>0$ thì ($C_{m}$) có cực đại, cực tiểu.