Câu 8: Trang 46 - sgk giải tích 12
Cho hàm số: $f(x) = x^{3} - 3mx^{2} + 3(2m - 1)x + 1$ (m là tham số).
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
b) Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có một cực đại và một cực tiểu?
c) Xác định m để $f"(x) > 6x$.
Bài Làm:
a)
TXĐ: D = R
$f'(x) = 3x^{2} - 6mx + 3(2m - 1)$
=> $f'(x) = 0 <=> 3x^{2} - 6mx + 3(2m - 1) = 0$ (1)
Ta có: $Δ' = (-3m)^{2} - 3.3(2m - 1) = 9(m^{2} - 2m + 1)= 9(m - 1)^{2}$
Để hàm số đồng biến trên D thì $f'(x) ≥ 0$
<=> $Δ' ≤ 0 <=> 9(m - 1)^{2} ≤ 0$
=> $m = 1$
Vậy khi $m = 1$ thì hàm số đã cho đồng biến trên D thì $f'(x) ≥ 0$.
b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu <=> phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
<=> $Δ' > 0 <=> 9(m - 1)^{2} > 0$
=> $m ≠ 1$
Vậy $m ≠ 1$.
c) Ta có: $f"(x) = 6x - 6m$
Theo bài ra: $f"(x) > 6x <=> 6x - 6m > 6x$
<=> $- 6m > 0$
<=> $m < 0$
Vậy với $m < 0$ thì $f"(x) > 6x$.