Câu 2: Trang 130 sách VNEN 9 tập 1
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B $\in $ (O), C $\in $ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:
a) AM = EF.
b) ME.MO = MF.MO'.
c) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO'.
d) BO cắt (O) tại G, CO' cắt (O') tại H. Khi đó S$\Delta $AGH = S$\Delta $ABC.
e) Gọi I là trung điểm của GH. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IOO' tiếp xúc với đường thẳng BC.
Bài Làm:
a) Ta có: MB = MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow $ $\Delta $BAC vuông tại A.
Ta có: $\widehat{BMO}$ = $\widehat{AMO}$ (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), mặt khác $\Delta $ BMA cân $\Rightarrow $ OM $\perp $ AB
Tương tự ta chứng minh được O'M $\perp $ AC
Suy ra ta chứng minh được tứ giác AEMF có ba góc vuông $\widehat{EAF}$ = $\widehat{MEA}$ = $\widehat{MFA}$ = $90^{\circ}$
$\Rightarrow $ tứ giác AEMF là hình chữ nhật $\Rightarrow $ AM = EF (đpcm).
b) $\Delta $MOA vuông tại A nên $MA^{2}$ = ME.MO
$\Delta $MO'A vuông tại A nên $MA^{2}$ = MF.MO'
$\Rightarrow $ ME.MO = MF.MO' (đpcm).
c) Tứ giác OO'CB có OB $\perp $ BC, O'C $\perp $ BC nên tứ giác OO'CB là hình thang vuông
Ta có M là trung điểm của BC
Gọi P là trung điểm của OO'
Hình thang OO'CB có MP là đường trung bình $\Rightarrow $ MP // OB // O'C $\Rightarrow $ MP $\perp $ BC
Hay BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO'.