A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Định li Vi-ét
Cho phương trình bậc hai ax$^{2}$ + bx + c= 0 ($a\neq 0$) (1)
- Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1) thì:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} & & \\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} & & \end{matrix}\right.$
2. Hệ quả
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = $\frac{c}{a}$
- Nếu a - b + c = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 = -1 và x2 = -$\frac{c}{a}$
- Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0
- Nếu hai số u và v thỏa mãn u + v = S và u.v = P ($S^{2}\geq 4P$), thì hai số đó là các nghiệm của phương trình x$^{2}$ - Sx + P = 0.
Ví dụ 1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình nếu có:
a, $4x^{2}+7x+2=0$ b, $-3x^{2}+x+1=0$
Hướng dẫn:
a, Vì $\Delta $ = 49 - 32 = 17 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1; x2. Theo định lí Vi-ét:
x1 + x2 = $-\frac{7}{4}$ và x1.x2 = $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
b, Vì phương trình có a và c trái dấu nên nó có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi-ét:
x1 + x2 = $-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}$ và x1.x2 = $\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$
Ví dụ 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 14 và tích của chúng bằng 3.
Hướng dẫn:
Nếu hai số này tồn tại thì chúng là hai nghiệm của phương trình:
$x^{2}-14x+3=0$
$\Delta' =7^{2}-1.3=46$; $\sqrt{\Delta' }=\sqrt{46}$
x1 = 7 + $\sqrt{46}$ và x2 = 7 - $\sqrt{46}$
Vậy hai sô cần tìm là 7 + $\sqrt{46}$ và 7 - $\sqrt{46}$
B. Bài tập & Lời giải
1. Xét tổng a + b + c hoặc a - b + c rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình:
a, $15x^{2}-17x+2=0$
b, $30x^{2}-4x-34=0$
c, $2\sqrt{3}x^{2}+2(5-\sqrt{3})x-10=0$
2. Không giải phương trình hãy tìm tổng và tích hai nghiệm của mỗi phương trình sau:
a, $17x^{2}-2x-3=0$
b, $8x^{2}+6x+1=0$
c, $9x^{2}-2x+5=0$
Xem lời giải
3. a, Chứng tỏ rằng 5 là nghiệm của phương trình $2x^{2}-3x-35=0$. Hãy tìm nghiệm kia.
b, Tìm giá trị của m để phương trình $mx^{2}-3(m+1)x+m^{2}-13m-4=0$ có một nghiệm là -2. Tìm nghiệm kia.
Xem lời giải
4. Cho phương trình $x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+m=0$
a, Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b, Kí hiệu hai nghiệm của phương trình là x1; x2. Tính $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}; |x_{1}^{2}-x_{2}^{2}|$
5. Tìm các giá trị của tham số m để các nghiệm x1; x2 của phương trình $x^{2}+(m-2)x+m+5=0$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$
Xem lời giải
6. Tìm hai số u và v biết $u^{2}+v^{2}=13$ và uv = 6