A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để xét vị trí tương đối giữa parabol (P): y = ax$^{2}$ và đường thẳng (d): y = kx + b, ta lập phương trình ax$^{2}$ = kx + b hay ax$^{2}$ - kx - b = 0 (*). Số nghiệm của phương trình này chính là số điểm chung của hai đồ thị.
- (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ((d) và (P) có hai điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).
- (d) tiếp xúc với (P) ((d) và (P) có một điểm chung) phương trình (*) có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).
- (d) và (P) không cắt nhau phương trình (*) vô nghiệm (Δ < 0 hoặc Δ' < 0).
Ví dụ: Cho parabol (P): y = ax$^{2}$ và đường thẳng d: y = kx + 3
a, Xác định các hệ số a và k, biết parabol và đường thẳng có một điểm chung là A(3; 18)
b, Từ kết quả của câu a, hãy tìm giao điểm thứ hai (nếu có) của (P) và (d).
Hướng dẫn:
a, Từ giả thiết suy ra điểm A(3; 18) thuộc (P) và (d), do đó ta có:
18 = 9a và 18 = 3k + 3
=> a = 2 và k = 5
Vậy a = 2 và k = 5.
b, Ta có hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
2x$^{2}$ = 5x + 3 <=> 2x$^{2}$ - 5x - 3 = 0
$\Delta =5^{2}-4.2.(-3)=49$ => $\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$
x1 = $\frac{5+7}{4}$ = 3; x2 = $\frac{5-7}{4}$ = -$\frac{1}{2}$
x1 chính là hoành độ điểm A, với x2 = -$\frac{1}{2}$ ta có y2 = 2.(-$\frac{1}{2}$)$^{2}$ = $\frac{1}{2}$
Vậy giao điểm thứ hai của (P) và (d) là B(-$\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$)
B. Bài tập & Lời giải
1. a, Vẽ đồ thị hàm số y = $\frac{1}{2}x^{2}$
b, Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = $\frac{1}{2}x^{2}$ tại hai điểm phân biệt A, B. Tính tọa độ giao điểm này khi m = $\frac{3}{2}$
Xem lời giải
2. Cho parabol (P): y = x$^{2}$ và đường thẳng d có phương trình y = mx + 1.
a, Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b, Tìm giá trị của m để tam giác OAB có diện tích bằng 3.
3. Cho đường thẳng thẳng d có phương trình: y = -$\frac{2(m-1)}{m-2}$x + 2 = 0, m $\neq 2$
a, Tìm m để đường thẳng d cắt parabol y = x$^{2}$ tại hai điểm phân biệt A và B.
b, Tìm tọa độ trung điểm của AB theo m.
Xem lời giải
4. Cho parabol (P): y = m$x^{2}$ và đường thẳng (d): y = nx + 4. Xác định m, n để (P) và (d) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x = -2.
5. Cho parabol y = $\frac{1}{2}x^{2}$ và đường thẳng y = mx + n
Xác định các hệ số m và n để đường thẳng đi qua điểm A(-1; 0) và tiếp xúc với parabol. Tìm tọa độ của tiếp điểm.