Cách giải bài dạng: Giải các phương trình quy về phương trình bậc hai Toán lớp 9

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Giải phương trình trùng phương $ax^{4}+bx^{2}+c=0; a\neq 0$:

• Đặt x$^{2}$ = t ($t\geq 0$)
• Giải phương trình $at^{2}+bt+c=0$
• Với mỗi giá trị không âm của t, giải phương trình x$^{2}$ = t để tìm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a, $2x^{4}+7x^{2}+5=0$                  b, $3x^{4}-5x^{2}-28=0$

Hướng dẫn:

Các phương trình đã cho đều là phương trình trùng phương.

Đặt x$^{2}$ = t ($t\geq 0$)

a, Phương trình $2x^{4}+7x^{2}+5=0$ trở thành: $2t^{2}+7t+5=0$

Vì 2 - 7 + 5 = 0 nên ta tìm được t = -1 hoặc t = $-\frac{5}{2}$

Hai giá trị này của t bị loại vì không thỏa mãn điều kiện $t\geq 0$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b, Phương trình $3x^{4}-5x^{2}-28=0$ trở thành $3t^{2}-5t-28=0$

$\Delta =25+336=361$ => $\sqrt{\Delta }=\sqrt{361}=19$

t₁ = $\frac{5+19}{6}=4$ (thỏa mãn $t\geq 0$); t₂ = $\frac{5-19}{6}=-\frac{7}{3}$ (loại )

Với t = 4, ta có x$^{2}$ = 4 <=> x = 2 hoặc x = -2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x = -2.

2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Đặt điều kiện cho ẩn để các mẫu thức khác 0.
• Quy đồng mẫu, khử mẫu
• Giải phương trình vừa tìm được
• Chọn giá trị của ẩn thỏa mãn điều kiện đặt ra rồi kết luận.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

$\frac{x^{2}-3x+5}{(x+2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}$

Hướng dẫn:

Điều kiện: $x\neq 2;x\neq 3$

Khử mẫu và biến đổi ta được phương trình:

$x^{2}-3x+5=x+2$ <=> $x^{2}-4x+3=0$

Vì 1 - 4 + 3 = 0 nên ta tìm được: x₁ = 1; x₂ = 3

Vì x = 3 không thỏa mãn điều kiện nên phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 1

3. Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ khác.

• Chọn biểu thức thích hợp đặt làm ẩn phụ
• Biểu diễn các biểu thức khác qua ẩn phụ đó
• Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ.
• Giải phương trình tìm ẩn phụ rồi suy ra ẩn ban đầu.

Ví dụ 3: Giải phương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0

Hướng dẫn:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0 <=> [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24 = 0

<=> (x$^{2}$ + 5x + 4)(x$^{2}$ + 5x + 6) - 24 = 0 (*)

Đặt t = x$^{2}$ + 5x + 4, ta có x$^{2}$ + 5x + 6 = t + 2

Khi đó phương trình (*) trở thành: t(t + 2) - 24 = 0 <=> t$^{2}$ + 2t - 24 = 0 

$\Delta' =1+24=25$ => $\sqrt{\Delta' }=\sqrt{25}=5$

t₁ = -1 - 5 = -6; t₂ = -1 + 5 = 4

Với t₁ = -6, ta có: x$^{2}$ + 5x + 4 = -6 <=> x$^{2}$ + 5x + 10 = 0

$\Delta =25-40=-15$ < 0 => Phương trình vô nghiệm

Với t₂ = 4, ta có:  x$^{2}$ + 5x + 4 = 4 <=> x$^{2}$ + 5x = 0 

<=> x(x + 5) = 0 <=> x = 0 hoặc x = -5

Vậy phương trình dã cho có tập nghiệm là S = {-5; 0}