Cách giải bài toán dạng: Tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn Toán lớp 9

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Nhắc lại kiến thức căn bậc hai

• Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của A, cò A gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
• Điều kiện xác định (hay có nghĩa) của một căn thức bậc hai:

$\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) <=> $A\geq 0$

2. Nhắc lại về dấu của một tích, dấu của một thương

• a.b $\geq 0$ <=> $\left\{\begin{matrix}a\geq 0 &  & \\ b\geq 0 &  & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a\leq 0 &  & \\ b\leq 0 &  & \end{matrix}\right.$
• a.b $\leq 0$ <=> $\left\{\begin{matrix}a\geq 0 &  & \\ b\leq 0 &  & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a\leq 0 &  & \\ b\geq 0 &  & \end{matrix}\right.$
• $\frac{a}{b}\geq 0$ <=> $\left\{\begin{matrix}a\geq 0 &  & \\ b>0 &  & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a\leq 0 &  & \\ b<0 &  & \end{matrix}\right.$
• $\frac{a}{b}\leq 0$ <=> $\left\{\begin{matrix}a\geq 0 &  & \\ b<0 &  & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a\leq 0 &  & \\ b>0 &  & \end{matrix}\right.$
• $\frac{1}{a}>0$ <=> a > 0

3. Các bước giải bài toán tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn:

1. $\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) <=> $A\geq 0$.
2. Giải bất phương trình $A\geq 0$
3. Kết luận

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

a, $\sqrt{3x}$             b, $\sqrt{5-2x}$    

c, $\sqrt{\frac{1}{x-1}}$  d, $\sqrt{-4x^{2}}$  

Hướng dẫn:

a, Vì $\sqrt{3x}$ là căn thức bậc hai của 3x, nên $\sqrt{3x}$ xác định

<=> $3x\geq 0$ <=> $x\geq 0$

Vậy $x\geq 0$ là điều kiện cần tìm.

b, Vì $\sqrt{5-2x}$ là căn thức bậc hai của 5-2x, nên $\sqrt{5-2x}$ xác định

<=> $5-2x\geq 0$ <=> $5\geq 2x$ <=> $\frac{5}{2}\geq x$

Vậy $x\leq \frac{5}{2}$ là điều kiện cần tìm.

c, $\sqrt{\frac{1}{x-1}}$ xác định <=> $\frac{1}{x-1}\geq 0$ <=> x - 1 > 0 <=> x > 1.

Vậy x > 1 là giá trị cần tìm.

d, $\sqrt{-4x^{2}}$ xác định <=> $-4x^{2}\geq 0$ <=> $0\leq x^{2}geq 0$ <=> x = 0

Vậy x = 0 là giá trị duy nhất cần tìm.