A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: a$x^{2}$ + bx + c = 0. Trong đó x là ẩn số, a, b, c là những số cho trước (hệ số) và a $\neq 0$.
- Công thức nghiệm: Phương trình a$x^{2}$ + bx + c = 0, a $\neq 0$ và biệt thức $\Delta =b^{2}-4ac$
- Nếu $\Delta $ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = $\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$; x2 = $\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$
- Nếu $\Delta $ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = $\frac{-b}{2a}$;
- Nếu $\Delta $ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lưu ý: Nếu a và c trái dấu thì phương trình a$x^{2}$ + bx + c = 0, a $\neq 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt.
- Các bước giải:
- Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c trong phương trình, đặc biệt chú ý đến hệ số a. Phương trình a$x^{2}$ + bx + c = 0 là phương trình bậc hai khi và chỉ khi a $\neq 0$
- Bước 2: Tính biệt thức $\Delta =b^{2}-4ac$
- Bước 3: Xét dấu của biệt thức để kết luận sự tồn tại nghiệm hoặc áp dụng công thức để viết nghiệm.
Ví dụ: Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình:
a, 3$x^{2}$ - 8x + 7 = 0
b, -5$x^{2}$ - $\sqrt{3}$x + 1 = 0
c, 4$x^{2}$ + 7x + $\frac{49}{16}$ = 0
Hướng dẫn;
a, 3$x^{2}$ - 8x + 7 = 0
a = 3; b = -8; c = 7
$\Delta =(-8)^{2}-4.3.7$ = 64 - 84 = - 20;
$\Delta $ < 0 suy ra phương trình vô nghiệm.
b, a = -5; b = -$\sqrt{3}$; c = 1
-5$x^{2}$ - $\sqrt{3}$x + 1 = 0 <=> 5$x^{2}$ + $\sqrt{3}$x - 1 = 0
$\Delta =(\sqrt{3})^{2}-4.5.(-1)$ = 3 + 20 = 23; $\sqrt{\Delta }=\sqrt{23}$
x1 = $\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{23}}{2.5}$ = $\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{23}}{10}$;
x2 = $\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{23}}{2.5}$ = $\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{23}}{10}$
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = $\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{23}}{10}$ và x2 = $\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{23}}{10}$
c, a = 4; b = 7; c = $\frac{49}{16}$
4$x^{2}$ + 7x + $\frac{49}{16}$ = 0 <=> 64$x^{2}$ + 112x + 49 = 0
$\Delta =(112)^{2}-4.64.49$ = 0
Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -$\frac{7}{2.4}$ = -$\frac{7}{8}$
B. Bài tập & Lời giải
1. Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình:
a, $x^{2}+10x+38=0$ b, $-4x^{2}+9x+13=0$
c, $3x^{2}-\sqrt{5}x+1=0$ d, $\sqrt{3}x^{2}+2(\sqrt{3}-3)x-6+4\sqrt{3}=0$
2. Tìm các giá trị của x để giá trị của hai biểu thức bằng nhau:
a, $x^{2}+2x+2$ và $-2\sqrt{2}x^{2}-2\sqrt{2}$
b, $2x^{2}-3x+2\sqrt{2}$ và $x^{2}+x-1$
Xem lời giải
3. Cho phương trình mx$^{2}$ - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (1). Tìm các giá trị của m để phương trình:
a, Có hai nghiệm phân biệt;
b, Có nghiệm kép;
c, Vô nghiệm;
d, Có đúng một nghiệm
4. Tìm giá trị của m để phương trình 3x$^{2}$ + 2(m - 3) + 2m + 1 = 0 có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.