A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. So sánh các căn thức
- Với hai số dương a,b bất kì ta có: a < b <=> $\sqrt{a}<\sqrt{b}$
- A$^{2}$ ≥ 0 với mọi biểu thức A.
Ví dụ 1: Không dùng máy tính hãy so sánh:
a, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ và $\sqrt{10}$
b, 16 và $\sqrt{15}.\sqrt{17}$
Hướng dẫn:
a, Giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ < $\sqrt{10}$ (1)
Ta có (1) <=> $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}$ < $\sqrt{10}^{2}$
<=> 2 + 3 + 2$\sqrt{6}$ < 10 <=> 2$\sqrt{6}$ < 5 <=> 24 < 25 (2) (luôn đúng)
Ta thấy (2) luôn đúng mà (1) <=> (2). Vaatyj (1) đúng hay $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ < $\sqrt{10}$
b, 16 = $\sqrt{16^{2}}$ = $\sqrt{256}$
$\sqrt{15}.\sqrt{17}$ = $\sqrt{15.17}=\sqrt{255}$
Vì 256 > 255 => $\sqrt{256}$ > $\sqrt{255}$ hay 16 > $\sqrt{15}.\sqrt{17}$
2. Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN
- Biến đổi tương đương
- Biến đổi hệ quả
- Dùng bất đẳng thức Cô-si
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Cô-si cho hai số a và b không âm:
$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$
Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: $(a+b)^{2}\geq 4ab$
Hướng dẫn:
+ Ta có: $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ (1) <=> $a+b\geq 2\sqrt{ab}$
<=> $a + b - 2\sqrt{ab}\geq 0$ <=> $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0$ (2)
Do (2) đúng với mọi $a\geq 0$; $b\geq 0$. Mà (2) <=> (1) => (1) đúng
=> Đpcm
+ Áp dụng BĐT Cô-si ta được: $a+b\geq 2\sqrt{ab}$
Bình phương cả hai vế ta được:
$(a+b)^{2}\geq 4ab$ => đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
Vi dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau:
$P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}$
Hướng dẫn:
Vì $\sqrt{x}\geq 0$ với mọi $x\geq 0$ và $x+\sqrt{x}+1=\left ( \sqrt{x}+\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}>0$ với mọi $x\geq 0$
=> $P\geq 0$ với mọi $x\geq 0$. Dấu "=" xảy ra khi x = 0
Vậy min P = 0 đạt được tại x = 0
Lại có: $(\sqrt{x}-1)\geq 0$ với mọi $x\geq 0$
=> 1 = $\frac{x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\geq \frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=3P$ hay $P\leq \frac{1}{3}$ với mọi $x\geq 0$
Dấu "=" xảy ra <=> $\sqrt{x}-1=0$ <=> $\sqrt{x}=1$ <=> x = 1
Vậy max P = $\frac{1}{3}$ đạt được tại x = 1.
B. Bài tập & Lời giải
1. Không dùng máy tính hãy so sánh:
a, 8 và $\sqrt{15}+\sqrt{17}$
b, $\sqrt{10}+\sqrt{13}$ và $\sqrt{11}+\sqrt{12}$
c, $\sqrt{100}+\sqrt{200}$ và $\sqrt{104}+\sqrt{196}$
d, $\sqrt{a}+\sqrt{7}$ và $\sqrt{a+2}+\sqrt{a+5}$
Xem lời giải
2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a, $ab(a+b)\leq a^{3}+b^{3}$
b, $\frac{a^{2}+2}{\sqrt{a^{2}+1}}\geq 2$
c, $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$ (với a, b, c là các số dương)
d, $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$ (với a, b, c là các số dương và x, y, z là các số thực tùy ý)
3. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c là các số dương:
a, $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$
b, $(1+ab)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$
c, $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 8$
Xem lời giải
4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
a, Y = $x+\sqrt{x}+4$
b, Y = $x-\sqrt{x}+10\frac{1}{4}$
c, Y = $\frac{3\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+2}$
d, Y = $\frac{\sqrt{x+2}}{x-\sqrt{x}+3}$