Cách giải bài dạng: Mối liên hệ giữa đường kính và dây cung, giữa các dây cung của một cung tròn Toán lớp 9

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

• Đường kính là dây lớn nhất.
• Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
• Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm cảu dây ấy.
• Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
• Khoảng cách từ một điểm O đến đường thẳng a là độ dài đường vuông góc OH kẻ từ tâm O đến a.
• Trong một đường tròn:
• Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
• Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
• Trong hai dây của một đường tròn:
• Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
• Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai dây bằng nhau

• Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều nhau và ngược lại
• Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho (O) đường kính AB. Kẻ hai dây song song AC và BD. Chứng minh rằng:

a, AC = BD                       b, CD là đường kính của (O)

Hướng dẫn:

a, Kẻ OH $\perp $ AC cắt BD tại K, do AC // BD nên OK $\perp $ BD. Lúc đó OH là khoảng cách từ tâm (O) đến dây BD.

Vì AO = OB và $\widehat{A}=\widehat{B}$ (so le trong)

Nên $\Delta $OHA = $\Delta $OKB (trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông).

Suy ra OH = OK hay dây AC và BD cách đều tâm O. Vậy AC = BD.

b, Tứ giác ABCD có AC // BD và AC = BD nên ACBD là hình bình hành.

Suy ra CD đi qua tâm O là trung điểm của AB. Vậy CD là đường kính của đường tròn (O).

2. Tinh độ dài một đoạn thẳng - Độ dài một dây cung

• Xác định khoảng cách từ tâm đến dây.
• Áp dụng hệ thức Py-ta-go cho một tam giác vuông có cạnh huyền là bán kính của đường tròn

Ví dụ 2: Cho (O) có bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài dây BC.

Hướng dẫn:

Gọi I là giao điểm của OA và Bc thì OA vuông góc với dây BC tại trung điểm I của OA nên BC = 2IB = 2IC và AI = IO = 1,5 cm

Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác BIO vuông tại I có cạnh huyền OB = 3cm, ta có:

OB$^{2}$  = BI$^{2}$ + IO$^{2}$ <=> 3$^{2}$ = BI$^{2}$ + 1,5$^{2}$

<=> BI$^{2}$ = 3$^{2}$ - 1,5$^{2}$ = 6,75 <=> BI = $\sqrt{6.75}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (cm)

Vậy BC = 2BI = 2.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ = $3\sqrt{3}$ cm

3. So sánh hai dây cung - hai đoạn thẳng

• Xác định khoảng cách từ tâm đến dây
• Trong hai dây cung của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại.
• Quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài cùng một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ 3: Cho (O) điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. So sánh độ dài hai dây BC và EF.

Hướng dẫn:

Vì OA $\perp $ BC nên A là khoảng cách từ tâm O đến dây BC cố định.

Kẻ OH vuông góc với dây EF thì OH là khoảng cách từ tâm đến dây EF.

Lúc đó OH là đường vuông góc kể từ O đến dây EF và OA là đường xiên kẻ từ O đến dây EF nên OH $\leq $ OA.

Dấu "=" xảy ra khi H $\equiv $ A hay EF = BC.

Suy ra EF $\leq $ BC