1. Cho (O) có các dây AB và CD bằng nhau. Các tia AB, CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a, EH = EK
b, EA = EC
2. Cho (O) các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng:
a, OC là phân giác của góc AOB.
b, OC vuông góc với AB.
Bài Làm:
1.
a, Vì AB = CD nên hai dây AB, CD cách đều tâm tức là: OH = OK
Xét tam giác EHO và tam giác EKO có:
- $\widehat{EHO}=\widehat{EKO}=90^{0}$
- Chung cạnh EO
- OH = OK
=> $\Delta $EHO = $\Delta $EKO (c-g-c)
=> EH = EK (đpcm)
b, Vì OH vuông góc với dây AB nên OH đi qua trung điểm của dây AB
=> AH = HB = $\frac{AB}{2}$ (1)
Vì OK vuông góc với dây CD nên OK đi qua trung điểm của dây CD
=> CK = KD = $\frac{CD}{2}$ (2)
Mà AB = CD nên từ (1) và (2) suy ra: AH = CK
Ta có: EH = EA + AH và EK = EC + CK
Mà EH = EK và AH = CK
=> EA = EC (đpcm)
2.
a, Kẻ OH $\perp $ AM, OK $\perp $ BN thì OH và OK lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến dây AM và BN
Do AM = BN nên OH = OK
Xét tam giác OHC và OKC có:
- $\widehat{OHC}=\widehat{OKC}=90^{0}$
- Chung cạnh OC
- OH = OK
=> $\Delta $OHC = $\Delta $OKC (c-g-c)
=> $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$ (1)
Xét tam giác OHA và OKB có:
- $\widehat{OHA}=\widehat{OKB}=90^{0}$
- OH = OK
=> $\Delta $OHA = $\Delta $OKB (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
=> $\widehat{O_{3}}=\widehat{O_{4}}$ (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:
$\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{3}}=\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{4}}$
<=> $\widehat{AOC}=\widehat{COB}$
Vậy OC là phân giác của góc AOB
b, Tam giác AOB cân tại O có OC là phân giác của góc AOB => OC là đường cao của tam giác AOB
=> OC $\perp $ AB