Cách giải bài dạng: Xét sự tồn tại của nghiệm và biểu diễn nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán lớp 9

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

• Nghiệm của hệ phương trình 

(I) $\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}(1) &  & \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}(2) &  & \end{matrix}\right.$ $(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}\neq 0;a_{2}^{2}+b_{2}^{2}\neq 0$)

là cặp số (x₀; y₀) thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình (1) và (2).

• Số nghiệm của hệ (I) chính là số giao điểm của hai đường thẳng: a₁x + b₁y = c₁ (d₁) và a₂x + b₂y = c₂ (d₂) 
• Hệ (I) có nghiệm duy nhất <=> (d₁) cắt (d₂).
• Hệ (I) vô nghiệm <=> (d₁) // (d₂).
• Hệ (I) có vô số nghiệm <=> (d₁) $\equiv $ (d₂)
• Cách xét sự tồn tại nghiệm và biểu diễn nghiệm:
• Thử trực tiếp cặp số đã cho vào hệ.
• Nhận xét đặc điểm riêng của từng phương trình (nếu có).
• Vẽ đường thẳng biểu diễn từng phương trình của hệ, lưu ý hệ số góc của các đường thẳng.
• Xét các tỉ số: 
• Hệ có nghiệm duy nhất <=> $\frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
• Hệ có vô số nghiệm <=> $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
• Hệ vô nghiệm <=> $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$

Lưu ý:

• Nếu một trong hai phương trình của hệ vô nghiệm thì cả hệ vô nghiệm.
• Nghiệm của hệ là một cặp số, chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình của hệ

Ví dụ 1: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}mx-y=1 &  & \\ x+y=n &  & \end{matrix}\right.$ nhận cặp số (-1; 0) làm nghiệm?

Hướng dẫn:

Cặp số (-1; 0) là nghiệm của hệ khi thỏa mãn đồng thời hai phương trình của hệ, ta có:

m.(-1) - 0 = 1 và -1 + 0 = n

Từ đó m = -1 và n = -1

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2x+5y=-2 &  & \\ (m-1)x-10y=4 &  & \end{matrix}\right.$

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm?

Hướng dẫn:

Hệ có vô số nghiệm <=>  $\frac{2}{m-1}=\frac{5}{-10}=\frac{-2}{4}$

<=> $\frac{2}{m-1}=\frac{-1}{2}$ <=> m - 1 = -4 <=> m = -3

Vậy với m = -3 thì hệ có vô số nghiệm.