Cách giải bài toán dạng: Rút gọn, tính giá trị biểu thức chứa căn bậc hai Toán lớp 9

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Sử dụng phép khai phương đơn giản

• $\sqrt{A^{2}}=|A|$ ($\forall A$)
• $\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ (Với $A, B \geq 0$)
• $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (Với $A\geq 0$; B > 0)

Ví dụ 1: Tính:

a, $\sqrt{(\sqrt{5}-4)^{2}}$

b, $\sqrt{16+9}$

c, $\sqrt{3}.\sqrt{27}-\sqrt{144}:\sqrt{36}$

Hướng dẫn:

a, $\sqrt{(\sqrt{5}-4)^{2}}$ = |$\sqrt{5}-4$| = $4- \sqrt{5}$

b, $\sqrt{16+9}$ = $\sqrt{25}$ = $\sqrt{5^{2}}$ = 5

c, $\sqrt{3}.\sqrt{27}-\sqrt{144}:\sqrt{36}$ = $\sqrt{3.27}-\sqrt{144}:\sqrt{36}$ = $\sqrt{81}-\sqrt{144}:\sqrt{36}$ = 9 - 12:6 = 7

2. Sử dụng các hằng đẳng thức

Thêm, bớt tạo thành hằng đẳng thức:

• $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$
• $A^{2}\pm 2AB+B^{2}=(A\pm B)^{2}$

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

a, $\sqrt{5+2\sqrt{6}-\sqrt{3}}$

b, $\sqrt{\frac{165^{2}-124^{2}}{164}}$

Hướng dẫn:

a, $\sqrt{5+2\sqrt{6}-\sqrt{3}}$ = $\sqrt{3+2\sqrt{3.2}+2}-\sqrt{3}$ = $\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}.\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{3}$ 

                                                = $\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}$ = $\sqrt{2}$

b, $\sqrt{\frac{165^{2}-124^{2}}{164}}$ = $\sqrt{\frac{(165-124)(165+124)}{164}}$ = $\sqrt{\frac{41.289}{164}}$ = $\sqrt{\frac{289}{4}}$ = $\frac{17}{2}$

3. Sử dụng các phép biến đổi đơn giản các biểu thức căn bậc hai.

• Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn: 

$\sqrt{A^{2}.B}=\sqrt{A^{2}}.\sqrt{B}=|A|.\sqrt{B}$ (với $B\geq 0$)

= $A\sqrt{B}$ với $A\geq 0,B\geq 0$

= $-A\sqrt{B}$ với $A\leq 0,B\geq 0$

• Đưa thừa số vào trong dấu căn.

Với $A\geq 0,B\geq 0$ thì $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}}.\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}.B}$

Với  $A<0,B\geq 0$ thì $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}.B}$

• Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn:

Với $A.B\geq 0$ và $B\neq $ thì $\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A.B}{B^{2}}}=\frac{\sqrt{AB}}{\sqrt{B^{2}}}=\frac{\sqrt{A.B}}{|B|}$

• Trục căn thức ở mẫu:

Nhân với biểu thức liên hợp để làm xuất hiện $\sqrt{A^{2}}$

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức:

a, A = $2\sqrt{8}-3\sqrt{32}+\sqrt{50}$

b, B = $5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{5}{2}.\sqrt{\frac{4}{5}}-3\sqrt{5}$

c, C = $\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

Hướng dẫn:

a, A = $2\sqrt{8}-3\sqrt{32}+\sqrt{50}$ = $2\sqrt{4.2}-3\sqrt{16.2}+\sqrt{25.2}$ 

= $2.2.\sqrt{2}-3.4\sqrt{2}+5.\sqrt{2}=-3\sqrt{2}$ 

b,  B = $5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{5}{2}.\sqrt{\frac{4}{5}}-3\sqrt{5}$

= $5\sqrt{\frac{1.5}{5.5}}+\frac{5}{2}.\sqrt{\frac{4.5}{5.5}}-3\sqrt{5}$

= $5.\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{5}{2}.\frac{2.\sqrt{5}}{5}-3\sqrt{5}$

= $\sqrt{5}+\sqrt{5}-3\sqrt{5}=-\sqrt{5}$

c,  C = $\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

= $\frac{2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{4}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{4}{4-3}=4$