5. Cho (O, 5cm) điểm M cách O là 3 cm.
a, Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua M.
b, Tính độ dài dây dài nhất đi qua M.
6. Cho (O) và hai dây cung AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Biết AB > CD. Chứng minh rằng MH > MK
Bài Làm:
5.
a, Vẽ dây AB vuông góc với OM thì AM = MB = $\frac{AB}{2}$ và OM là khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác OAM vuông tại M có cạnh huyền OA = 5cm, ta có:
OA$^{2}$ = AM$^{2}$ + MO$^{2}$ <=> 5$^{2}$ = AM$^{2}$ + 3$^{2}$
<=> AM$^{2}$ = 4$^{2}$ <=> AM = 4cm
Suy ra dây AB = 2AM = 2.4 = 8cm
Kẻ dây CD bất kì đi qua M và OI vuông góc với dây CD thì OI là khoảng cách từ tâm O đến dây CD. Lúc đó OI là đường vuông góc kẻ từ O đến dây CD và OM là đường xiên kẻ từ O đến dây CD.
Suy ra OI $\leq $ OM => CD $\geq $ AB = 8cm. Vậy AB = 8cm là dây ngắn nhất đi qua M.
b, Kéo dài OM cắt (O) tại E, F thì EF = 10cm là dây dài nhất đi qua M (vì trong một đường tròn dây dài nhất là đường kính).
6.
Vì OH đi qua trung điểm H của dây AB không đi qua tâm nên OH $\perp $ AB do đó OH là khoảng cách từ O đến dây AB
OK đi qua trung điểm K của dây CD không đi qua tâm nên OK $\perp $ CD do đó OK là khoảng cách từ O đến dây CD.
Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào hai tam giác vuông MOH và MOK cùng chung cạnh huyền MO, ta có:
MO$^{2}$ = OH$^{2}$ + HM$^{2}$ = OK$^{2}$ + KM$^{2}$ (1)
Do AB > CD => OH < OK => OH$^{2}$ < OK$^{2}$ (2)
Từ (1) và (2) => MH$^{2}$ > MK$^{2}$ hay MH > MK