Chứng minh các bất đẳng thức

2.  a,  $ab(a+b)\leq a^{3}+b^{3}$ <=> $ab(a+b)\leq (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

<=> $(a+b)(a^{2}-2ab+b^{2})\geq 0$ <=> $(a+b)(a-b)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng

b, $\frac{a^{2}+2}{\sqrt{a^{2}+1}}\geq 2$ <=> $a^{2}+2\geq 2.\sqrt{a^{2}+1}$

<=>  $a^{2}+1-2.\sqrt{a^{2}+1}+1\geq 0$ <=> $(\sqrt{a^{2}+1}-1)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng

c, $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 

<=> $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}\geq \frac{bc+ac+ab}{abc}$ 

<=> $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq bc+ac+ab$ (vì a, b, c là các số dương)

<=> $2.(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2.(bc+ac+ab)$

<=> $a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}-2ac+a^{2}\geq 0$

<=> $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng

d, $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$

<=> $(bx^{2}+ay^{2})(a+b)\geq (x^{2}+2xy+y^{2}).ab$

<=> $a^{2}y^{2}-2aybx+b^{2}x^{2}\geq 0$ <=> $(ay-bx)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng

3. a, Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai bộ, mỗi bộ hai số không âm là a, b và a, b ta được:

$a+b\geq 2\sqrt{ab}\geq 0$ (1)

$a+b\geq 2\sqrt{ab}\geq 0$ (2)

Nhân (1) với (2) ta có: $(a+b)(a+b)\geq 4ab$ <=> $(a+b)(\frac{a+b}{ab})\geq 4$

<=> $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$

b, Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai bộ, mỗi bộ số không âm là a, b và 1, ab ta được:

$a+b\geq 2\sqrt{ab}\geq 0$ (1)

$1+ab\geq 2\sqrt{ab}\geq 0$ (2)

Nhân (1) với (2) ta có: $(1+ab)(a+b)\geq 4ab$ <=> $(1+ab)(\frac{a+b}{ab})\geq 4$

<=> $(1+ab)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$

c, Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba bộ, mỗi bộ số không âm là a, b; b, c và a, c ta được:

$a+b\geq 2\sqrt{ab}\geq 0$ (1)

$b+c\geq 2\sqrt{bc}\geq 0$ (2)

$a+c\geq 2\sqrt{ac}\geq 0$ (3)

Lấy (1).(2).(3) ta được: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ <=> $\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}\geq 8$

<=> $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 8$