4. Cho phương trình $x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+m=0$
a, Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b, Kí hiệu hai nghiệm của phương trình là x1; x2. Tính $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}; |x_{1}^{2}-x_{2}^{2}|$
5. Tìm các giá trị của tham số m để các nghiệm x1; x2 của phương trình $x^{2}+(m-2)x+m+5=0$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$
Bài Làm:
4. $\Delta' =(m+1)^{2}-m^{2}-m=m+1$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m + 1 > 0 <=> m > -1
b, Theo định lí Vi-ét:
x1 + x2 = 2(m + 1) và x1.x2 = $m^{2}+m$
Do đó: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$
= $[2(m+1)]^{2}-2(m^{2}+m)=4m^{2}+8m+4-2m^{2}-2m$ = $2m^{2}+6m+4$
Ta lại có $|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}|=|x_{1}+x_{2}|.|x_{1}-x_{2}|=|x_{1}+x_{2}|.\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$
= $|2(m+1)|.\sqrt{4(m+1)^{2}-4(m^{2}+m)}$ = $4|m+1|\sqrt{m+1}$
5. Điều kiện có nghiệm: $\Delta' =(m-2)^{2}-4(m+5)\geq 0$ <=> $m^{2}-8m-16\geq 0$ (*)
Từ phương trình $x^{2}+(m-2)x+m+5=0$ ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2-m & & \\ x_{1}.x_{2}=m+5 & & \end{matrix}\right.$
Theo giả thiết $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$
<=> $(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=10$
<=> $(2-m)^{2}-2(m+5)$ = 10 <=> $m^{2}-6m - 16 = 0$
Giải phương trình với ẩn m: $\Delta' =3^{2}-(-16)=25$ => $\sqrt{\Delta' }=\sqrt{25}=5$
m1 = 3+ 5 = 8; m2 = 3 - 5 = -2
Thay m1 = 8 và m2 = -2 vào (*), ta thấy chỉ có m2 = -2 thỏa mãn.
Vậy m = -2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$