Bài tập 7. Cho tam giác $A B C$. Các điểm $D, E, H$ thoả mãn
$\overrightarrow{D B}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A H}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}.$
a. Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{D H}, \overrightarrow{H E}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
b. Chứng minh $D, E, H$ thẳng hàng.
Bài Làm:
a.
- $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB} $
$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
$=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
- $\overrightarrow{D H}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AH}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
- $\overrightarrow{H E}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AE}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$
b. Ta có:
$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{D H}$
Vậy $D, E, H$ thẳng hàng.
