Lý thuyết trọng tâm toán 10 cánh diều bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Tổng hợp kiến thức trọng tâm toán 10 cánh diều bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ. Tài liệu nhằm củng cố, ôn tập lại nội dung kiến thức bài học cho học sinh dễ nhớ, dễ ôn luyện. Kéo xuống để tham khảo

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Tích vô hướng của hai vectơ có cùng điểm đầu

Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ khác $\overrightarrow{0}.$

Kết luận:

+ Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ là góc giữa hai tia $OA, OB$ và được kí hiệu là $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}).$

+ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là một số, kí hiệu $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$, được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}= \left | \overrightarrow{OA} \right |.\left | \overrightarrow{OB} \right |.\cos(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$

Ví dụ 1 (SGK – tr93) 

Luyện tập 1:

Hinh 1

Ta có: $AC = AB.\tan 30^{\circ} = 3; BC = \frac{AB}{\cos 30^{\circ}}= 2\sqrt{3}$

+ $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}= \left | \overrightarrow{BA} \right |.\left | \overrightarrow{BC} \right |.\cos(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})= 3.2\sqrt3.\cos 30^{\circ} = 9$

+ $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}= \left | \overrightarrow{CA} \right |.\left | \overrightarrow{CB} \right |.\cos(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB})= \sqrt3.2\sqrt3.\cos 60^{\circ} = 3$

2. Tích vô hướng của hai vectơ tuỳ ý 

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Lấy điểm O và vẽ vectơ $\overrightarrow{OA}= \overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{OB}= \overrightarrow{b}.$

Hinh 2

Kết luận:

+ Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b},$ kí hiệu $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$, là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$

+ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b},$ là tích vô hướng cùa hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$. Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số thực được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= \left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |.\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$

Quy ước: 

Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ $\overrightarrow{0}$ là số 0. 

Chú ý: 

+ $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})= (\overrightarrow{b},\overrightarrow{a})$

+ Nếu $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})= 90^{\circ}$ thì ta nói hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$ hoặc $\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{a}.$ Khi đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= \left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |.\cos 90^{\circ} = 0$

+ Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng. 

+ Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng. 

Ta có thể chứng minh chú ý thứ ba như sau: 

Nếu $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ là hai vectơ (khác $\overrightarrow{0}$) cùng hướng thì $(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})= 0^{\circ}$. Do đó, $\cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 1.$ 

Vì vậy, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= \left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |.\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})= \left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |$

Nếu một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ là vectơ $\overrightarrow{0}$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= 0$ và $\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}= 0$ nên $\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}= \left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |$

Chú ý thứ tư được chứng minh tương tự như trên. 

Ví dụ 2 (SGK – tr94)

Luyện tập 2:

Hinh 3

a. Vẽ vectơ $\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{CB}$. Ta có:

$(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{BA})= (\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BA})= \widehat{DBA}= 120^{\circ}$

Vậy $\overrightarrow{CB}. \overrightarrow{BA}= a.a. \cos 120^{\circ}= \frac{-a^2}{2}.$

Vì $AH \perp BC$ nên $\overrightarrow{AH}. \overrightarrow{BC}= 0.$

II. TÍNH CHẤT 

Kết luận: 

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ và số thực $k$ tuỳ ý, ta có: 

  • $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán)
  • $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ (tính chất phân phối)
  • $(k\overrightarrow{a}).\overrightarrow{b}= k(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})= \overrightarrow{a}.(k\overrightarrow{b})$

  • $\overrightarrow{a}^2 ≥ 0, \overrightarrow{a}^2 = 0 ⟺ \overrightarrow{a}= \overrightarrow{0}$

Trong đó, kí hiệu $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}= \overrightarrow{a}^2$ và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}$.

Ví dụ 3, 4 (SGK – tr95)

Luyện tập 3:

  •  $(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})^2= (\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}). (\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})$= $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}. \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}. \overrightarrow{b}$

= $\overrightarrow{a}^2 + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}^2$

  •  $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2= (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$= $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a}.{b}+ \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

= $\overrightarrow{a}^2 - 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}^2$

  •  $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$= $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}- \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

= $\overrightarrow{a}^2 - \overrightarrow{b}^2$

III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 

1. Tính độ dài của đoạn thẳng

Nhận xét: 

Với hai điểm $A, B$ phân biệt, ta có: $\overrightarrow{AB}^2= \left | \overrightarrow{AB} \right |^2$

Do đó độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: $AB = \sqrt{\overrightarrow{AB}^2}$

Ví dụ 5 (SGK – tr96)

Luyện tập 4: 

Hinh 4

+ Cho tam giác ABC vuông tại A, ta chứng minh $BC^2 = AB^2 + AC^2$

Do tam giác $ABC$ vuông tại A nên $AC ⊥ AB ⇒ \cos (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})= 0$

Ta có: 

$\overrightarrow{BC}^2= (\overrightarrow{AC}- \overrightarrow{AB})^2= \overrightarrow{AC}^2+ \overrightarrow{AB}^2 - 2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}^2= \overrightarrow{AC}^2 - 2.AC.AB. \cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+ AB^2$

= $AC^2+ AB^2 - 2AC.AB. \cos90^{\circ}= AC^2+ AB^2.$ 

Vậy $BC^2 = AB^2 + AC^2$ (đpcm)

+ Cho tam giác ABC có $BC^2 = AB^2 + AC^2,$ cần chứng minh tam giác ABC vuông tại A. 

Ta có:

$\overrightarrow{BC}^2= (\overrightarrow{AC}- \overrightarrow{AB})^2= \overrightarrow{AC}^2+ \overrightarrow{AB}^2 - 2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ 

$\Rightarrow BC^2= AC^2 - 2.AC.AB. \cos (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})+ AB^2$ 

Mà theo giả thiết ta có: 

$BC^2= AB^2 + AC^2$

=> $BC^2= BC^2 - 2.AC.AB. \cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})$

=> $\cos (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})= 0$ hay $\cos \widehat{BAC}= 0$

Do đó $\widehat {BAC}= 90^{\circ}$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại A (đpcm).

2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nhận xét: 

Cho hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= 0 ⇔ \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}.$

Ví dụ 6 (SGK – tr97)

Xem thêm các bài Giải Toán 10 tập 1 cánh diều, hay khác:

Xem thêm các bài Giải Toán 10 tập 1 cánh diều được biên soạn cho Học kì 1 & Học kì 2 theo mẫu chuẩn của Bộ Giáo dục theo sát chương trình Lớp 10 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 10 | Để học tốt Lớp 10 | Giải bài tập Lớp 10

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 10, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 10 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 10 - Kết nối tri thức

Giải sách giáo khoa

Giải sách bài tập