Giải bài 6 Tích vô hướng của hai vectơ

LT-VD 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $\widehat{B}=30^{\circ}$, $A B=3 \mathrm{~cm}$. Tính $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C} ; \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $AC=tan30^{\circ} \cdot AB = \sqrt{3}$

và $BC=\frac{AB}{cos30^{\circ}} = 2\sqrt{3}$

• $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot cos(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})=3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot cos30^{\circ}=9$
• $\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}=|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot cos(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB})=\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot cos60^{\circ}=3$

LT-VD 2: Cho tam giác $A B C$ đều cạnh $a, A H$ là đường cao. Tính:

a. $\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{B A}$;

b. $\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}$.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: $(\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{B A})=(\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{CA})=60^{\circ}$

$\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{B A}=|\overrightarrow{C B}| \cdot |\overrightarrow{B A}| \cdot cos(\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{B A})=a \cdot a \cdot cos60^{\circ}=\frac{a^2}{2}$

b. $\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}=|\overrightarrow{A H}| \cdot |\overrightarrow{B C}| \cdot cos(\overrightarrow{A H}, \overrightarrow{B C})=|\overrightarrow{A H}| \cdot |\overrightarrow{B C}| \cdot cos90^{\circ}=0$

LT-VD 3: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$, ta có:

$(\vec{a}+\vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$

$(\vec{a}-\vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$

$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}$

Hướng dẫn giải:

$(\vec{a}+\vec{b})^{2}=(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{a} +\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b} =\vec{a}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$

$(\vec{a}-\vec{b})^{2}=(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{a} -\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b} =\vec{a}^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$

$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{a} +\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{b} \cdot \vec{b} =\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}$

LT-VD 4: Sử dụng tích vô hướng, chứng minh định lí Pythagore: Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{B C}^{2}=(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})^{2}=\overrightarrow{A C}^{2}+\overrightarrow{A B}^{2}-2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}$

Suy ra $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})$.

$=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos A=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos90^{\circ}$

$=A B^{2}+A C^{2}$ (Đpcm)