I. ĐỊNH NGHĨA
HĐ1:
Do B là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{BC}$. Khi đó ta có: $\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AB}.$
HĐ2:
Vectơ $2\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ và $\left | 2\overrightarrow{AB} \right |= 2\left | \overrightarrow{AB} \right |$
2AB=2AB
Kết luận:
Cho số thực $k \neq 0$ và vectơ $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$. Tích của số k với vectơ $\overrightarrow{a}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$, được xác định như sau:
+ Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu $k > 0$, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu $k < 0$
+ Có độ dài bằng $\left | k \right |. \left | \overrightarrow{a} \right |$
Quy ước:
$0. \overrightarrow{a}= \overrightarrow{0}, k\overrightarrow{0}= \overrightarrow{0}$
Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân số với vectơ.
Ví dụ 1 (SGK – tr89)
Luyện tập 1:
+ Ta có: $\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{AM}$ là hai vectơ cùng hướng và $\left | \overrightarrow{AG} \right |= \frac{2}{3}\left | \overrightarrow{AM} \right | \Rightarrow \overrightarrow{AG}= \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.$ Vậy $a = \frac{2}{3}$.
+ Ta có: $\overrightarrow{GN}, \overrightarrow{GB}$ là hai vectơ ngược hướng và $\left | \overrightarrow{GN} \right |= \frac{1}{2}\left | \overrightarrow{GB} \right | \Rightarrow \overrightarrow{GN}= -\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}.$ Vậy $b = \frac{-1}{2}.$
Ví dụ 2 (SGK -tr89)
II. TÍNH CHẤT
Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ và hai số thực $h, k,$ ta có:
- $k(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})= k\overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{b}; k(\overrightarrow{a}- \overrightarrow{b})= k\overrightarrow{a}- k\overrightarrow{b}$;
- $(h + k)\overrightarrow{a}= h\overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{a}$
- $h(k\overrightarrow{a})= (hk)\overrightarrow{a}$;
- $1\overrightarrow{a}= \overrightarrow{a}; (-1)\overrightarrow{a}= \overrightarrow{-a}$
Nhận xét: $k\overrightarrow{0}= \overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $k = 0$ hoặc $\overrightarrow{a}= \overrightarrow{0}.$
Ví dụ 3 (SGK – tr89)
Luyện tập 2:
$3(\overrightarrow{AB}+ 2\overrightarrow{BC})- 2(\overrightarrow{AB}+ 3\overrightarrow{BC})= 3\overrightarrow{AB}- 2\overrightarrow{AB}+ 6\overrightarrow{BC}- 6\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AB} $(đpcm)
III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
1. Trung điểm của đoạn thẳng
HĐ3:
I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên $\overrightarrow{IA}+ \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}= (\overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IA})+ (\overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IB})= 2\overrightarrow{MI}$
Kết luận:
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}= 2\overrightarrow{MI}$ với điểm M bất kì
2. Trọng tâm của tam giác
HĐ4:
Do G là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC}= \overrightarrow{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}$
= $(\overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{GA})+ (\overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{GB})+ (\overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{GC})$
= $3\overrightarrow{MG}+ (\overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC})= 3\overrightarrow{MG}$
Kết luận:
Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Rightarrow \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}= 3\overrightarrow{MG}$ với điểm M tuỳ ý.
Ví dụ 4 (SGK – tr90)
Luyện tập 3:
Ta có: $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AG}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{AG}+ \overrightarrow{GC}$
= $2\overrightarrow{AG}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC}$
= $3\overrightarrow{AG}+ \overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC}= 3 \overrightarrow{AG}$ đpcm.
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
HĐ5:
Ta có $\overrightarrow{a}= k\overrightarrow{b}$ với k là số thực khác 0, hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$.
Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.
Kết luận:
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b} (\overrightarrow{b}≠0)$ cùng phương là có một số thực k để $\overrightarrow{a}= k\overrightarrow{b}.$
HĐ6:
a. Nếu $A, B, C$ thẳng hàng thì đường thẳng $AB$ trùng đường thẳng $AC$, do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.
b. Nếu hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương thì đường thẳng AB trùng đường thẳng AC, do đó ba điểm $A, B, C$ có thẳng hàng.
Kết luận:
Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng là có số thực k để $\overrightarrow{AB}= k\overrightarrow{AC}.$
Ví dụ 5 (SGK – tr91)
Luyện tập 4:
a. Từ hình vẽ, $AC = \frac{3}{4}AD \Rightarrow \overrightarrow{AC}= \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$ (Hai vectơ cùng hướng)
$⇒ k= \frac{3}{4}$
b. Từ hình vẽ, $BD = 3CD \Rightarrow \overrightarrow{BD}= -3\overrightarrow{DC}$ (Hai vectơ ngược hướng)
$⇒ k= -3$
Nhận xét:
Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Với mỗi vectơ $\overrightarrow{c}$ có duy nhất cặp số $(x ; y)$ thoả mãn $\overrightarrow{c}= x\overrightarrow{a}+ y\overrightarrow{b}.$