Bài tập 1. Cho tam giác $A B C$ có $A B=3, A C=4, \widehat{B A C}=120^{\circ}$. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
a. Độ dài cạnh $B C$ và độ lớn góc $B$
b. Bán kính đường tròn ngoại tiếp
c. Diện tích của tam giác
d. Độ dài đường cao xuất phát từ $A$
e. $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B C}$ với $M$ là trung điểm của $B C$
Hướng dẫn giải:
a.
- Áp dụng định lý cosin:
$BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cosA=37$
$\Rightarrow BC=\sqrt{37}$
- Áp dụng định lý sin:
$\frac{BC}{sin A}=\frac{AC}{sin B}$ $\Rightarrow \widehat{B}=34,7^{\circ}$
b. $\frac{BC}{sin A}=2R \Rightarrow R=\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}$
c. $S=\frac{1}{2}.AB.AC.sinA=3\sqrt{3}$
d. $S=\frac{1}{2}.AH.BC \Rightarrow AH = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$ (H là chân đường cao)
e. $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3 \cdot 4 \cdot cos120=-6$
Bài tập 2. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
$A=\left(\sin 20^{\circ}+\sin 70^{\circ}\right)^{2}+\left(\cos 20^{\circ}+\cos 110^{\circ}\right)^{2}$,
$B=\tan 20^{\circ}+\cot 20^{\circ}+\tan 110^{\circ}+\cot 110^{\circ} .$
Hướng dẫn giải:
$A=(\sin 20^{\circ}+\sin 70^{\circ})^{2}+(\cos 20^{\circ}+\cos 110^{\circ})^{2}$
$=(\cos 70^{\circ}+\cos 20^{\circ})^{2}+(\cos 20^{\circ}+\cos 110^{\circ})^{2}$
$=(-\cos 110^{\circ}+\cos 20^{\circ})^{2}+(\cos 20^{\circ}+\cos 110^{\circ})^{2}$
$=2((cos 20^{\circ})^{2}+(cos 110^{\circ})^{2})$
$=2((sin 70^{\circ})^{2}+(-cos 70^{\circ})^{2})$
$=2$
$B=\tan 20^{\circ}+\cot 20^{\circ}+\tan 110^{\circ}+\cot 110^{\circ}$
$=\cot 70^{\circ}+\tan 70^{\circ}-\tan 70^{\circ}-\cot 70^{\circ}$
$=0$
Bài tập & Lời giải
Bài tập 3. Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó.
Bạn Hoài vẽ góc $x O y$ và đố bạn Đông làm thế nào có thể biết được số đo của góc này khi không có thước đo góc. Bạn Đông làm như sau (Hình 70):
- Chọn các điểm $A, B$ lần lượt thuộc các tia $O x$ và $O y$ sao cho $O A=O B=2 \mathrm{~cm}$;
- Đo độ dài đoạn thẳng $A B$ được $A B=3,1 \mathrm{~cm}$.
Từ các dữ kiện trên bạn Đông tính được $cos\widehat{x O y}$, từ đó suy ra độ lớn góc $x O y$.
Em hãy cho biết số đo góc $x O y$ mà bạn Đông tính được bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Xem lời giải
Bài tập 4. Có hai trạm quan sát $A$ và $B$ ven hồ và một trạm quan sát $C$ ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ $A$ và từ $B$ đến $C$, người ta làm như sau (Hình 71):
- Đo góc $B A C$ được $60^{\circ}$, đo góc $A B C$ được $45^{\circ}$;
- Đo khoảng cách $A B$ được $1200 \mathrm{~m}$.
Khoảng cách từ trạm $C$ đến các trạm $A$ và $B$ bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Xem lời giải
Bài tập 5. Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).
Từ vị trí đang đứng $A$, người đó đo được góc nghiêng $\alpha=35^{\circ}$ so với bờ sông tới một vị trí $C$ quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí $B$ cách $A$ một khoảng $d=50 \mathrm{~m}$ và tiếp tục đo được góc nghiêng $\beta=65^{\circ}$ so với bờ bên kia tới vị trí $C$ đã chọn (Hình 72). Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét (làm trờn kết quả đến hàng phần mười)?
Xem lời giải
Bài tập 6. Để đo khoảng cách giữa hai vị trí $M, N$ ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí $O$ bên ngoài ốc đảo sao cho: $O$ không thuộc đường thẳng $M N$; các khoảng cách $O M$, ON và góc $M O N$ là đo đước (Hình 73 ). Sau khi đo, ta có $O M=200 \mathrm{~m}, O N=500 \mathrm{~m}$, $\widehat{M O N}=135^{\circ}$.
Khoảng cách giữa hai vị trí $M, N$ là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Xem lời giải
Bài tập 7. Chứng minh:
a. Nếu $A B C D$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C E}=\overrightarrow{A E}$ vơi $E$ là điểm bất kì;
b. Nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$ thì $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+2 \overrightarrow{I N}=2 \overrightarrow{M N}$ với $M, N$ là hai điểm bất kì;
c. Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$ thì $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}-3 \overrightarrow{M N}=3 \overrightarrow{N G}$ với $M, N$ là hai điểm bất kì.
Xem lời giải
Bài tập 8. Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B=4, A D=6$, $\widehat{B A D}=60^{\circ}$ (Hình 74).
a. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{B D}, \overrightarrow{A C}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$.
b. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{A C}$
c. Tính độ dài các đường chéo $B D, A C$.
Xem lời giải
Bài tập 9. Hai lực $\overrightarrow{F_{1}}, \overrightarrow{F_{2}}$ cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm $O$ và tạo với nhau một góc $\left(\overrightarrow{F_{1}}, \overrightarrow{F_{2}}\right)=\alpha$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ $O$ đến $C$ (Hình 75). Lập công thức tính cường độ của hợp lực $\vec{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ $O$ đến $C$ (giả sử chỉ có đúng hai lực $\vec{F}_{1}, \overrightarrow{F_{2}}$ làm cho vật di chuyển).
