Lý thuyết trọng tâm toán 10 cánh diều bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Tổng hợp kiến thức trọng tâm toán 10 cánh diều bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ. Tài liệu nhằm củng cố, ôn tập lại nội dung kiến thức bài học cho học sinh dễ nhớ, dễ ôn luyện. Kéo xuống để tham khảo

I. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

HĐ1:

 

Hinh 1

a. Vectơ dịch chuyển của vật từ A đến B là $\overrightarrow{AB}$ và từ B đến C là $\overrightarrow{BC}$.

b. Vectơ dịch chuyển tổng hợp của vật là $\overrightarrow{AC}$.

Kết luận: 

Với ba điểm bất kì $A, B, C$, vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$, kí hiệu là $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}$

HĐ2:

a. Lấy điểm A bất kì, qua A vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$, trên đường thẳng này về phía cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$, lấy điểm B sao cho $\left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{a} \right |$.

Tương tự, lấy điểm C sao cho $\left | \overrightarrow{BC} \right |= \left | \overrightarrow{b} \right |.$

Vậy ta có $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{a}, \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{b}$

Hinh 2

b. Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng vectơ $\overrightarrow{AC}$

Kết luận:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{a}, \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{b}$. Vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu $\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}$.

Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Ví dụ 1 (SGK – tr83) 

Luyện tập 1:

Hinh 3

Ta có: 

P là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{PB}= \overrightarrow{AP}$ 

Do P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của $\Delta ABC ⟹ PN= \frac{BC}{2}= MC$ và $PN // MC$

⟹ $PN = MC.$

2. Quy tắc hình bình hành

HĐ3:

Hinh 4

a. $ABCD$ là hình bình hành nên $AD//BC$ và $AD = BC$

Vậy $\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}$

b. Ta có: $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}$.

Kết luận:

Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì: $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC}$

Ví dụ 2 (SGK – tr84)

Luyện tập 2:

Hinh 5

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{F}= \overrightarrow{F_1}+ \overrightarrow{F_2}$

Tổng của hai hợp lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ làm thuyền chuyển động theo hướng của vectơ F.

3. Tính chất

Với ba vectơ tùy ý $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ ta có:

  • $\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}= \overrightarrow{b}+ \overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán);
  • $(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})+ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{a}+ (\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c})$ (tính chất kết hợp);
  • $\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{0}= \overrightarrow{0}+ \overrightarrow{a}= \overrightarrow{a}$ (tính chất của vectơ-không). 

Hinh 6

Chú ý: 

Tổng ba vectơ $\overrightarrow{a}$+ $\overrightarrow{b}$+ $\overrightarrow{c}$ được xác định theo một trong hai cách: 

$(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})+ \overrightarrow{c}$ hoặc $\overrightarrow{a}+ (\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c}).$

Ví dụ 3 (SGK – tr85)

Luyện tập 3:

Hinh 7

Ta có:

$\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CE}+ \overrightarrow{AD}= (\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD})+ \overrightarrow{CE}$ (tính chất giao hoán)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CE}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{CE}= \overrightarrow{AE}$ (đpcm)

II. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1. Hai vectơ đối nhau

HĐ4:

Hinh 8

a. Hai vectơ $\overrightarrow{P_1}$ và $\overrightarrow{P_2}$ cùng hướng và độ dài.

b. Hai vectơ $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ ngược hướng và cùng độ dài.

Kết luận:

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$, kí hiệu là $\overrightarrow{-a}$. Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{-a}$ được gọi là hai vectơ đối nhau. 

Quy ước:

Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{0}$ là vectơ $\overrightarrow{0}$.

Lưu ý: $\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{-AB}$

Nhận xét: 

 

  • $\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{(-a)}= \overrightarrow{(-a)}+ \overrightarrow{a}= \overrightarrow{0}$
  • Hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}= \overrightarrow{0}$.

  • Với hai điểm A, B, ta có: $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BA}= \overrightarrow{0}$.

Ví dụ 4 (SGK – tr85)

Chú ý: 

I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+ \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}.$

Ví dụ 5 (SGK – tr86)

Chú ý:

G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC}= \overrightarrow{0}.$

2. Hiệu của hai vectơ

HĐ5: 

a. Lấy điểm M tuỳ ý, qua M vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$, trên đường thẳng này về phía cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$, lấy điểm A sao cho $\left | \overrightarrow{MA} \right |= \left | \overrightarrow{a} \right |.$

Qua M, tiếp tục vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{b}$, trên đường thẳng này xét cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$, lấy điểm B sao cho $\left | \overrightarrow{MB} \right |= \left | \overrightarrow{b} \right |$, xét ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$, lấy điểm C sao cho $\left | \overrightarrow{MC} \right |= \left | \overrightarrow{b} \right |.$

Vậy ta được các vectơ $\overrightarrow{MA}= \overrightarrow{a}, \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{b}, \overrightarrow{MC}= \overrightarrow{-b}$ như hình vẽ. 

Hinh 9

b. Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{(-b)}$ bằng vectơ $\overrightarrow{MN}$ với N là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMCN.

Kết luận:

Hiệu của vectơ $\overrightarrow{a}$ và vectơ $\overrightarrow{b}$ là tổng của vectơ $\overrightarrow{a}$ và vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}.$

Ví dụ 6 (SGK -tr86)

Nhận xét: 

Với ba điểm $O, B, A$ ta có: $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}.$

Ví dụ 7 (SGK – tr86)

Luyện tập 4: 

 

Hinh 10

Ta có: N là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{NC}= \overrightarrow{- NB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}- \overrightarrow{NB}= \overrightarrow{CM}- \overrightarrow{CN}= \overrightarrow{NM}$

$\overrightarrow{CM}- \overrightarrow{NB}= \overrightarrow{CM}- \overrightarrow{CN}= \overrightarrow{NM}$ 

Vậy $\left | \overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB} \right |= \left | \overrightarrow{NM} \right |= \frac{1}{2}a$

Xem thêm các bài Giải Toán 10 tập 1 cánh diều, hay khác:

Xem thêm các bài Giải Toán 10 tập 1 cánh diều được biên soạn cho Học kì 1 & Học kì 2 theo mẫu chuẩn của Bộ Giáo dục theo sát chương trình Lớp 10 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 10 | Để học tốt Lớp 10 | Giải bài tập Lớp 10

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 10, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 10 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 10 - Kết nối tri thức

Giải sách giáo khoa

Giải sách bài tập