I. TẬP HỢP
HĐ1.
Có hai cách cho một tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử của tập hợp;
Chẳng hạn: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Chẳng hạn: A = {x ∈ N|0 ≤ x ≤5}
HĐ2.
a) A = {a; b; c}.
b) d ∉ A
Ví dụ 1 (SGK – tr12)
HĐ3.
+ C = {x ∈ ℝ | $x^2 < 0$}
Ta có với mọi số thực x thì $x^2 ≥ 0$, suy ra không tồn tại số thực x để $x^2 < 0$.
Vậy tập hợp C không có phần tử nào.
+ D = {a}
Tập hợp D có 1 phần tử, là phần tử a.
+ E = {b; c; d}
Tập hợp E có 3 phần tử.
+ ℕ= {0; 1; 2; …}.
Tập hợp ℕ là tập hợp các số tự nhiên. Tập hợp này có vô số phần tử.
Nhận xét:
- Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng (tập rỗng), kí hiệu Ø.
- Một tập hợp có thể không có phân tử nào, cũng có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử.
Chú ý: Khi tập hợp C là tập hợp rỗng, ta viết C= Ø và không được viết là C= { Ø }.
Luyện tập 1:
+ G ={x ∈ Z| $x^2 −2 = 0$}.
Tập hợp G không chứa phần tử nào vì:
$x^2 −2 = 0$ ⇔ $x = ±\sqrt{2}$ ∉ Z.
+ N*={1;2;3;..}.
Tập hợp N* có vô số phần tử.
II. TẬP CON VÀ TẬP HỢP BẰNG NHAU.
Tập con
HĐ4.
a) A = {−2; −1; 0; 1; 2}
B={−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}
b) Mỗi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B.
Kết luận:
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là môt tập hợp con của B và viết là A ⸦ B. Ta còn đọc A chứa trong B.
Quy ước: Tập hợp Ø được coi là tập hợp con của mọi tập hợp.
Chú ý:
+ A ⊂ B ⇔ (∀x, x∈A ⇒ x∈B)
+ Khi A ⊂ B, ta cũng có thể viết B ⸧ A
+ Nếu A không phải tập hợp con của B, ta viết A ⊄ B.
Ví dụ 2 (SGK – tr13)
Luyện tập 2:
Lấy n bất kì thuộc tập hợp B.
Ta có: n chia hết cho 9
n đều viết được dưới dạng:
n = 9k (k∈ N)
⇒ n = 3.(3k) ⋮ 3 (k ∈ N)
⇒ n ∈ A
Như vậy, mọi phần tử của tập hợp B đều là phần tử của tập hợp A hay B ⸦ A.
Kết luận:
Ta có các tính chất sau:
- A ⸦ A với mọi tập hợp A
- Nếu A ⸦ B và B ⸦ C thì A ⸦ C
Tập hợp băng nhau
HĐ5.
Ta có: B = {0;6;12;18}
a) Tất cả các phần tử của tập A đều thuộc tập B nên A⊂B là mệnh đề đúng.
b) Tất cả các phần tử của tập B đều thuộc tập A nên B⊂A là mệnh đề đúng.
Kết luận:
Khi A ⸦ B và B ⸦ A thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau, viết là A = B.
Chú ý:
A = B ⇔ (Ɐ x, x ∈ A ⇔ x ∈ B).
Ví dụ 3 (SGK -tr14)
Luyện tập 3.
Ta có:
n chia hết cho 3 và 4 khi và chỉ khi n chia hết cho 12 do (3, 4) =1.
Vậy E = G.
III. GIAO CỦA HAI TẬP HỢP
HĐ6.
Danh sách các bạn đăng kí tham gia cả hai câu lạc bộ là: An, Chung.
Kết luận:
Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của hai tập hợp A và B.
Kí hiệu là A ∩ B.
Lưu ý:
x ∈ A ∩ B khi và chỉ khi x ∈ A và x ∈ B.
Ví dụ 4 (SGK -tr14)
IV. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP
HĐ7.
Danh sách những môn thi đấu mà cả hai trường đã đề xuất là: Bóng bàn, Bóng đá, Bóng rổ, Cầu lông.
Kết luận:
Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của hai tập hợp A và B. Kí hiệu là A ∪ B.
Chú ý: x ∈ A ∪ B. khi và chỉ khi x ∈ A và x ∈ B
Ví dụ 5 (SGK -tr15)
Luyện tập 4.
A ∩ B={0}
A ∪ B=R
V. PHẦN BÙ. HIỆU CỦA HAI TẬP HỢP
HĐ8.
Tập hợp những số thực không phải là số vô tỉ chính là tập hợp Q các số hữu tỉ.
Kết luận:
Cho tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B. Tập hợp những phân tử thuộc B mà không thuộc A được gọi là phần bù của A trong B, kí hiệu là $C_{B}A$.
Ví dụ 6 (SGK tr16)
HĐ9
Các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B là: 2; 14.
Kết luận:
Tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B kí hiệu là A \ B.
Lưu ý:
+ x ∈ A \ B khi và chỉ khi x ∈ A và x ∉ B
+ Nếu B ⊂ A thì A \ B = $C_{A}B$
Ví dụ 7 (SGK – tr16)
Ví dụ 8 (SGK – tr16)
Luyện tập 5:
Ta có:
A={ x ∈ Z| −2 ≤ x ≤ 3}= {−2; −1; 0; 1; 2; 3}
Và B= { x ∈ R| $x^2 - x - 6=0$} = { −2; 3}
Khi đó:
Tập hợp A∖B gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Vậy A∖B={−1; 0; 1; 2}.
Tập hợp B∖A gồm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Vậy B∖A= ∅
VI. CÁC TẬP HỢP SỐ
Các tập hợp số đã học
Mối quan hệ giữa các tập hợp số: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
2. Một số tập con thường dùng của tập hợp số thực
Cho a và b là hai số thực với a < b.
Ví dụ 9 (SGK -tr18)